【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题03三角函数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版.docxVIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

【高中数学竞赛真题?强基计划真题考前适应性训练】

专题03三角函数真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1．（2021·北京·高三强基计划）已知O为的外心，与的外接圆分别交于点D，E．若，则（????）

A． B． C． D．以上答案都不对

【答案】B

【分析】利用圆周角和圆心角的关系可求的大小.

【详解】如图，连结．

由于，

于是弧分别与弧、弧相等，进而可得弧与弧相等、弧与弧相等，

进而，

从而，因此是外接圆的直径，进而．

2．（2020·北京·高三强基计划）设等边的边长为1，过点C作以为直径的圆的切线交的延长线于点D，，则的面积为（????）

A． B．

C． D．前三个答案都不对

【答案】C

【分析】利用射影定理可求，故可求的面积.

【详解】如图，设题中圆的圆心为O，与圆O切于点T，连结，

则，于是，

从而．

故选：C.

3．（2020·北京·高三强基计划）函数的最大值为（????）

A． B．

C． D．前三个答案都不对

【答案】D

【分析】利用基本不等式可求代数式的最大值.

【详解】题中代数式为

，

等号当时可以取得，因此所求最大值为．

故选：D.

4．（2020·北京·高三校考强基计划）使得成立的最小正整数n的值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】先证明成立，再结合的单调性可估算的取值范围，从而可得最小正整数n的值.

【详解】根据题意，有，

记，则函数在上是单调递增函数．

设，则：

，

当时，有，故，

故为上的增函数，故.

接下来利用当时，以及正弦函数的单调性估计．

，

有，

因此使得不等式成立的最小正整数n的值为5．

故选：C.

5．（2020·北京·高三校考强基计划）在中，．点P满足，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】ABCD

【分析】根据题设条件可得P为的费马点，如图，以为边作等边三角形，可证，故可判断各项的正误.

【详解】根据题意，方向上的单位向量之和为零向量，

因此，进而P为的费马点．

如图，以为边作等边三角形，

则，故四点共圆，

故，故，

故，

同理，，

因此所有选项均正确．

故选：ABCD.

6．（2020·北京·高三校考强基计划）设为锐角，且，则的最大值为（????）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】利用基本不等式可求最大值.

【详解】解法一：由得，

所以．

因为均为锐角，所以，

当且仅当时取等号，所以的最大值是．

解法二:??由得:

，

于是，

等号当时取得，

因此的最大值为．

7．（2020·北京·高三校考强基计划）（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用裂项相消法可求数列的和，再根据基本极限可求题设中数列的极限.

【详解】根据题意，有，

于是

．

故选：A.

8．（2020·北京·高三校考强基计划）（????）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的乘法可求3个角的和的正弦值.

【详解】分别是复数的辐角，

于是题中代数式为复数的辐角的正弦值，为1．

故选：A.

二、多选题

9．（2020·北京·高三校考强基计划）设的三边长a，b，c都是整数，面积是有理数，则a的值可以为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】CD

【分析】由特例可得a的值可以取3，4，再利用整数的性质可判断a的值不可能为1，2，故可得正确的选项.

【详解】取三边为3，4，5的三角形，其面积为6，此时a的值可以取3，4．

当时，有，

此时的面积为，注意到，不为完全平方数，

因此的面积不可能是有理数．

当时，不妨设，有或．

情形一??若，则的面积为．

若，其中p，q为互质的正整数，则，

于是为完全平方数，而正整数的完全平方数的最小间隔为，因此该情形不成立．

情形二??若，则，

于是面积为有理数，等价于为有理数，即为完全平方数，注意到，因此的面积不可能是有理数．

综上所述，a的值不可能为1，2，可能为3，4．

故选：CD.

10．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中），得到四个小正方形，记它们的面积分别为，则以下结论正确的是（????）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【详解】设，最大正方形的边长为1，

小正方形的边长分别为．∵，

，

，

，，

所以C正确；

，

所以，所以B正确，

故选：BC.

11．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设的内角的对边分别为.若，则（????）

A．

B．

C．的面积最大值为

D．的周长最大值为

【答案】AC

【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式以及基本不等式化简即可。

【详解