【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题16 其他竞赛综合 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版.docxVIP

【高中数学竞赛真题?强基计划真题考前适应性训练】

专题16其他竞赛综合真题专项训练

（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1．（2018·全国·高三竞赛）已知函数的定义域为，函数的定义域为，则、应满足

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】．若，则应有或，即或，但，则且.

2．（2020·北京·高三校考强基计划）已知实数a，b满足，设的所有可能取值构成的集合为M，则（????）

A．M为单元素集 B．M为有限集，但不是单元素集

C．M为无限集，且有下界 D．M为无限集，且无下界

【答案】B

【分析】利用因式分解可求可求或，故可得正确的选项.

【详解】题中条件即，

也即，

其中．从而或．

因此的取值集合为，选项B正确．

故选：B.

3．（2019·全国·高三竞赛）在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个侧面的中心点、1个体的中心点,这27个点中,共球面的8点组的个数是.

A．4462 B．4584 C．4590 D．4602

【答案】B

【详解】将立方体放入空间直角坐标系中,以体中心为原点,8个顶点分别为、、,其中,表示及其置换.由这三个平面将27个点分成三层,对每个共球面的八点组,其在任一层上至多有4个点(因每层上的9个点中无5点共圆),至少在某一层上至少有3个点.此3点的外接圆圆心(x,y)只可能在

;;;

;.

故八点共球面的球心只可能在

(1);

(2),;

(3);

(4);

(5);

(6);

(7),;

(8).

记以点为球心、为半径的球面为.该球面上包含27个点中的点的个数为.

(1).

,

S

(2).

(3)

(4).

(5)

(6)

(7)

(8)

.

综上,共球面的八点组共有

故答案为B

4．（2018·全国·高三竞赛）已知区域与的面积分别为、（其中，表示不大于的最大整数），则

A． B．

C． D．不能比较与的大小

【答案】C

【详解】由题意知，因为、，，所以，或解得或画出其图形，可知，故.

5．（2019·全国·高三竞赛）已知为锐角.则是的（????）.

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】解法1：必要性.

取，有.

充分性.

由三维平均值不等式，有

，????????（1）

????????（2）

（1）、（2）两式左右两边分别相加左边，

右边.

这说明，（1）、（2）两式同时取等号，有

得

但为锐角，故.

解法2：解方程求出唯一解便可确定为充要条件.由，有.

设，则，且.

∴.

解得，舍去.

故只有，得，故，.

所以，条件是充分必要的.

故答案为C

二、填空题

6．（2019·全国·高三竞赛）计算:=_______.

【答案】

【详解】注意到，.

两边积分得

.

故答案为

7．（2018·湖南·高三竞赛）已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____.

【答案】

【详解】因为，当时，若，则是一个既约分数，故当时，该分数是既约分数.

所以这个分数为.

故答案为

8．（2018·湖南·高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.

设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.

【答案】

【详解】原正三角形的面积为，而第k次一共挖去个小三角形，.因此，可以采用等比级数求和公式，得到答案为

.

故答案为

9．（2019·全国·高三竞赛）把函数的系数按其自然位置排成两行两列，记为二阶矩阵．其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素．又记的系数所组成的二阶矩阵为A的平方，即．观察二阶矩阵乘法的规律，写出中的元素________．

【答案】

【详解】根据二阶矩阵乘法的规律，知中的应是中第i行的元素分别乘以A中第j列对应元素的代数和，则．

故答案为

10．（2018·全国·高三竞赛）设定义在上，其值域，且对任意，都有，及．则________．

【答案】39

【详解】由，知．

若，则，矛盾．

因此，．

则，，，．

又，故，，，．

因为，，所以，，．

因此，．

11．（2019·全国·高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．若圆台的高为，是下底面与夹角为的直径，则异面直线、所成角的余弦值为________．

【答案】

【详解】如图，设异面直线、所成角为，向量、的夹角为，以下底面中心为原点、所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则、、、.

于是，.

因此.

而，，

故.

从而，.

故答案为

12．（2019