高三数学专题19 函数与导数综合（解析版）.doc

专题19函数与导数综合

1．（2020届安徽省安庆市高三第二次模拟）已知（）.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，对任意的，，且，都有，求实数m的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）（）.

①当时，，在上单调递增；

②当时，，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减；

③当时，，在上单调递减.

（2）当时，，不妨设，则

等价于，

考查函数，得，

令，，

则时，，时，，

所以在区间上是单调递增函数，在区间上是单调递减函数.

故，所以在上单调递减.

从而，即，故，

所以，即恒成立，

设，则在上恒为单调递减函数，

从而恒成立，故，

故.

2．（2020届安徽省蚌埠市高三第三次质检）已知函数.

（1）分析函数的单调性；

（2）证明：，.

【答案】（1）在区间和上单调递减；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意得：的定义域为，且，

令则，时，；

时，.即在上单调递增，在上单调递减.

因为，则在和上.

因为，所以在和上，

即函数在区间和上单调递减.

（2）由（1）可知，当时，，即，

当时，，则，

即，

所以

整理得：，

即，，不等式得证.

3．（2020届安徽省合肥市高三第二次质检）已知函数．（是自然对数的底数）

（1）求的单调递减区间；

（2）记，若，试讨论在上的零点个数．（参考数据：）

【答案】（1）．（2）见解析

【解析】

（1），定义域为．

．

由解得，解得．

∴的单调递减区间为．

（2）由已知，∴．

令，则．

∵，∴当时，；

当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

即在上单调递增，在上单调递减．

∵，．

①当，即时，，∴．

∴，使得，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减．

∵，∴．

又∵，

∴由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点．

②若时，，

又∵在上单调递增，在上单调递减，又，

∴，，使得，，

且当、时，；当时，．

∴在和上单调递减，在上单调递增．

∵，∴．

∵，∴．

又∵，由零点存在性定理可得，

在和内各有一个零点，

即此时在上有两个零点．

综上所述，当时，在上仅有一个零点；

当时，在上有两个零点．

4．（2020届福建省福州市高三质量检测）已知函数

（1）若为的导函数，且，求函数的单调区间；

（2）若，证明：.

【答案】（1）的单调递增区间；单调递减区间）；（2）详见解析．

【解析】

（1）由已知，

，

所以，，

令，得，解得，

令，得，解得，

故的单调递增区间；单调递减区间

（2）证明：若，要证明：，只要证即可，

设，，，

设，则，

设，则

当时，，当时，，

所以，故时，，所以在上单调递增，

所以，即，

所以在单调递增，则，即，

所以在单调递增，则，所以原不等式成立．

5．（2020届甘肃省兰州市高三诊断）已知函数（a∈R且a≠0）.

（1）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；

（3）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna.

【答案】（1）x+y﹣21＝0.（2）答案不唯一，具体见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）因为a时，，

所以f′（x）＝2x，f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，

所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2（x﹣1），

即x+y﹣21＝0.

（2）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），

因为f′（x）＝2，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3时，有x1，x2，x1＞x2，

当a∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，

所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，

即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数.

又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数.

当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，

综上所述，当a＜0时，在（0，3），f（x）为增函数；在（3，+∞），f（x）为减函数；

当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3）和（3，+∞）上为减函数，在（3，3），f（x）为增函数；

当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数.

（3）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，

则f′（x）0有两个正根x1，x2，即﹣x2+2x﹣a＝0有两个正根x1，x2，可得：△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1?x2＝a＞0，

即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，

若要f