菱形经典题型(培优提高).docVIP

菱形的性质与判定

知识归纳

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

①边的性质：对边平行且四边相等．

②角的性质：邻角互补，对角相等．

③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

例题讲解

例1：，菱形中，、分别是、上的点，假设，求的度数．

例2：如图2所示，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，AE⊥BC于E，那么AE的长是〔〕

A．D．8

例3：如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分．

例4：如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，那么〔〕

A．B．C．D．

例5：等腰中，，平分交于点，在线段上任取一点〔点除外〕，过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结.

⑴求证四边形为菱形

⑵当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？

课堂练习

菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，那么菱形的一个钝角的大小是

依次连结菱形四条边的中点所构成的四边形是〔〕

A．菱形B．矩形C．一般平行四边形D．一般四边形

菱形周长为，一条对角线长为，那么其面积为．

菱形的一个内角为，一条对角线的长为，那么另一条对角线的长为________．

菱形ABCD的对角线交于O，AO=1，且∠ABC∶∠BAD=1∶2，∠ABO=300，那么以下结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=2；⑤菱形ABCD的周长是8，其中正确的有〔〕

A．①②③④⑤B．①②④⑤C．②③④⑤D．①②③⑤

，菱形中，、分别是、上的点，且，．求：的度数．

如下图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．

如图3所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，那么PE+PB的最小值是________．

如下图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE，

求证：BE=AF．

如图，在中，，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，．当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由．

如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形．

如图，是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置

⑴画出平移后的三角形；

⑵连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长；

⑶当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形？为什么？

课下练习

如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于点H，交CB延长线于点F，交AB于点G，求证：AB与EF互相平分。

如图，菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，假设∠BAE＝20°，求∠CEF的度数。

如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形。

如图，在中，BC＝2AB，AE＝AB＝BF，且点E、F在直线AB上，

求证：CE⊥DF。

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF＝CE，求证：四边形ACEF是菱形。

菱形两邻角的比为1∶2，边长为2，求该菱形的面积。

如图，过的对角线交点O，作互相垂直的两条直线EG、FH与各边分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是菱形。

如图，在菱形ABCD中，E是AB中点，且DE⊥AB，AB＝4，求：〔1〕∠ABC的度数；〔2〕菱形ABCD的面积。

如图，菱形ABCD的边长为4cm，且∠ABC＝120°，E是BC的中点，在BD上求点P，使PC＋PE取最小值，并求这个最小值。

如图，在中，AB＝2BC，BE⊥AD于E，F为CD中点，设∠DEF＝α，∠EFC＝β，求证：β＝3α

如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长。

如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC＝CB，E、F分别是AC、AB的中点，且∠DEA