【中考数学专题】10 与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析-.pdfVIP

专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析

专题导例

如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接

DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．

【分析】：先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE≌△BCE

（SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C

三点共线时，CF的长度最小．

方法剖析

轴对称的性质

（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分；

（2）轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，新旧图形

具有对称性；

（3）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上.

轴对称（折叠）的思考层次

全等变换：对应边相等，对应角相等；

对称轴性质：对应点所连线段被对称轴（折痕）垂直平分，对称轴（折痕）上的点到对应点的距离

相等；

指出：（1）在翻折下，前后的图形关于折痕成轴对称，注意前后的图形成镜面对称，即前后的图形

的左右位置互换；

（2）翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长及对最值类问题进行探究；

（3）轴对称常见的结构，折叠会产生垂直平分，等腰三形.

导例答案：解：如图，在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，

在Rt△ADM和Rt△BCN中，

，

∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），

∴∠DAM＝∠CBN，

在△DCE和△BCE中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），

∴∠CDE＝∠CBE

∴∠DAM＝∠CDE，

∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，

∴∠DAM+∠ADF＝90°，

∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，

取AD的中点O，连接OF、OC，

则OF＝DO＝AD＝3，

在Rt△ODC中，OC＝＝3

根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，

∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，

最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．

故答案为：3﹣3．

典型例题

类型一：利用已知直线作对称图形进行证明

例1、在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．

（1）求证：∠BAD＝∠EDC；

（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．

①依题意将图2补全；

②证明：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．

【分析】（1）先判断出∠BAD+∠CAD＝60°，进而得出∠BAD+∠E＝60°，即可得出结论；

（2）①由对称性即可补全图形；

②由对称性判断出DM＝DE，∠MDC＝∠EDC，再用三角形的外角的性质，判断出∠ADC＝∠B+

∠BAD＝∠B+∠MDC，进而判断出△ADM是等边三角形，即可得出结论．

类型二：对已知图形进行翻折进行证明

例2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交

CD于点F，连接DE．

（1）求证：△DEC≌△EDA；

（2）求DF的值；

（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明

理由，直接写出此时线段PF的大小．

【分析】（1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD＝EC，AE＝DC，即可证到△DEC≌△EDA

（SSS）；

（2）易证AF＝CF，设DF＝x，则有AF＝4﹣x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长．

（3）根据三角形的内角和定理求得∠APF＝∠AFP根据等角对等边得出AF＝AP进而得出FC＝AP，

从而证得四边形APCF是平行四边形，又因为FP⊥AC证得四边形APCF为菱形，然后根据菱形