数学课后集训：向量减法运算及其几何意义.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后集训

基础达标

1.化简下列各式，结果为零向量的个数是（）

①++②—+-③-+④++-

A。1B。2C.3

解析：①++=+=0②-+—=++=+=0.③-+=+=0④++—=+=0.∴应选D.

答案：D

2.如右下图在平行四边形ABCD中,若|+|=｜-｜，则必有（）

A。=0B.=0或=0C.ABCD为矩形D.ABCD为正方形

解析：由于+=，—=。

由条件得:||=||.

∵两条对角线相等的平行四边形是矩形。

∴应选C。

答案：C

3.下列各式中，恒成立的是(）

A.=B.a-a=0C.-=D。++=0

答案：D

4。下列四个式子中，不能化简为的是（）

A.（+）+B.（+)+(+）

C.—+D.+-

解析:A。（+）+=(+）+=+=。

B。(+）+(+）=+++=++=.

C。—+=+=.

D。+—=2+。

故应选D。

答案：D

5.已知向量是单位向量，点M是AB中点，点P为平面上任意一点，则-等于（）

A.—B。—C.+D。

解析：在△PMA中，=+，=+，

∴—=（+)-（+）=—=-。故应选A.

答案：A

6.如右图，已知=a,=b,｜｜=12，|｜=5,∠BAC=90°，则|a-b|=_____________,tan∠ACB=____________.

解析：由于a-b=，∴｜a-b|=|｜=13，tan∠ACB=。

答案：13

综合运用

7。下列等式：①0—a=-a;②—(-a)=a;③a+(-a）=0；④a+0=a；⑤a—b=a+（—b);⑥a+（-a）=0.正确的个数是（）

A。3B.4C。5

解析：⑥错误，应为0。

答案:C

8。对于任意向量a、b，恒有（）

A.｜a+b|=|a｜+|b｜B。|a-b｜=|a|-｜b｜C.|a-b｜≤｜a｜+｜b｜D.｜a—b｜≤｜a|—|b|

解析：由向量加减法的三角形法则可得。

答案：C

9。若O是△ABC内一点，++=0，则O是△ABC的（）

A。内心B.外心C.垂心D。重心

解析：如右图所示，由+=知四边形ADBO为平行四边形，故OE=ED。由已知++=0，故+=，即=，故C、O、E三点共线，且CO=2OE，即O分CE为2∶1.所以O为△ABC的重心.

答案：D

拓展探究

10.证明：对于任意向量a，b都有｜|a｜—｜b|｜≤｜a-b|≤|a｜+｜b｜，并指出等号成立的条件.

思路分析：这是一个涉及两个向量的重要不等式,证明的关键在于正确分类，逐一解决.

证明：（1）当a，b共线时，

①a,b（a，b非零）同向时，则|a—b｜=|｜a|—｜b|｜＜｜a｜+|b｜;②只有当a，b中至少有一个零时，|a-b｜=|｜a|—｜b|｜=｜a｜+|b|；③当a，b（a，b非零）反向时，｜a—b|=｜a｜+|b｜＞|｜a|-|b｜｜。

（2）当a，b不共线时，如右上图，在△ABC中，=a,=b，则=—=a-b.

根据三角形中任意两边之差总小于第三边，两边之和总大于第三边可得：

||a|-|b｜｜＜｜a-b｜＜｜a|+|b|。

综合（1）（2）可得：对任意向量a,b都有｜｜a｜-|b||≤|a—b｜≤|a｜+｜b|.

只有当a,b同向或a,b中至少一个为0时，|｜a|—｜b||≤|a—b|中的等号成立；只有当a，b反向或a,b中至少一个为0时，｜a-b|≤｜a|+|b｜中的等号成立.

备选习题

11。设a,b都是非零向量，

（1）若向量a与b反向，则a-b与a的方向_________,且|a—b|_________｜a｜+|b｜;

(2)若a与b同向，且｜a｜＞｜b|则a—b与a的方向_________且｜a-b|_________｜a｜-｜b|.

答案：（1)相同=(2）相同=

12。（1)当非零向量满足______________条件时，能使a+b平分a与b的夹角；满足______________条件时,能使｜a+b|=｜a—b|.

（2）已知｜｜=｜a|,｜｜=b且｜a|=｜b｜=8，