第31讲 专题导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题（九大题型）（原卷版）.docx

PAGE4/NUMPAGES15

第14讲专题导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：同构法的理解 5

题型二：利用同构比较大小 5

题型三：方程同构 6

题型四：零点同构 7

题型五：双元同构 8

题型六：朗博同构 9

题型七：利用同构解决不等式恒成立问题 9

题型八：利用同构求最值 10

题型九：利用同构证明不等式 11

03过关测试 12

方法技巧总结一、常见的同构函数图像

函数表达式

图像

函数表达式

图像

函数极值点

函数极值点

函数极值点

函数极值点

过定点

函数极值点

函数极值点

函数极值点

函数极值点

方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用：

（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根

（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．同构小套路

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；

③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．

（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程

（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

3、常见的指数放缩：

4、常见的对数放缩：

5、常见三角函数的放缩：

6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：

（1）且时，有

（2）当且时，有

再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）

（3）

（4）

（5）

（6）

再结合常用的切线不等式lnxx-1，等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：

（7）；

（8）；

7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有：

=1\*GB3①；

=2\*GB3②；

=3\*GB3③

8、乘法同构、加法同构

（1）乘法同构，即乘同构，如；

（2）加法同构，即加同构，如，

（3）两种构法的区别：

=1\*GB3①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；

=2\*GB3②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；

题型一：同构法的理解

【典例1-1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)；

(7)；

(8)．

【典例1-2】关于的不等式有解，则实数的取值范围是.

【变式1-1】（2024·内蒙古·三模）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若恒成立，求的取值范围.

题型二：利用同构比较大小

【典例2-1】已知，且，，，则（????）

A． B．

C． D．

【典例2-2】已知．且，，，则（????）

A． B．

C． D．

【变式2-1】已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（????）

A． B． C． D．

【变式2-2】已知，，，则，，的大小顺序是（????）

A． B．

C． D．

题型三：方程同构

【典例3-1】（江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三期初数学试题）已知实数满足，，则．

【典例3-2】（江苏省泰州市泰兴中学2023-2024学年高三期中数学试题）已知实数a，b满足，则ab＝．

【变式3-1】设x，y为实数，且满足，则（）

A．2 B．5 C．10 D．2018

【变式3-2】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则．

【变式3-3】（2024·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构?形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（????）

A． B．e C． D．1

题型四：零点同构

【典例4-1】（2024·高三·天津西青·期末）已知函数和．

(1)若曲线数与在处切线的斜率相等，求的值；

(2)若函数与有相同的最小值．

①求的值；

②证明：存在直线，其与两条曲线与共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点