第42讲 平面向量的概念及线性运算（六大题型）（讲义）（原卷版）.docx

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第01讲平面向量的概念及线性运算

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：向量的有关概念 4

知识点2：向量的线性运算 4

知识点3：平面向量基本定理和性质 5

知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 7

解题方法总结 7

题型一：平面向量的基本概念 8

题型二：平面向量的线性运算及求参数问题 9

题型三：共线定理及其应用 10

题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 12

题型五：平面向量的直角坐标运算 15

题型六：向量共线的坐标表示 16

04真题练习·命题洞见 16

05课本典例·高考素材 17

06易错分析·答题模板 19

易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件 19

答题模板：用基底表示向量 19

考点要求

考题统计

考情分析

（1）向量的有关概念

（2）向量的线性运算和向量共线定理

（3）平面向量基本定理和性质

（4）平面向量的坐标表示及坐标运算

2024年I卷第3题，5分

2024年甲卷（理）第9题，5分2023年北京卷第3题，5分

2022年I卷第3题，5分

2021年乙卷（文）第13题，5分

2022年乙卷（文）第3题，5分

通过对近5年高考试题分析可知，高考在本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算，预计后面几年的高考也不会有大的变化．

复习目标：

（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．

（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．

（3）了解平面向量基本定理及其意义

（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算

知识点1：向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．

（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．

（3）特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

②单位向量：长度等于1个单位的向量．

③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．

④相等向量：长度相等且方向相同的向量．

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．

【诊断自测】下列命题中，正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

知识点2：向量的线性运算

（1）向量的线性运算

运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则平行四边形法则

①交换律

②结合律

减法

求与的相反向量的和的运算叫做与的差

三角形法则

数乘

求实数与向量的积的运算

（1）

（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；

当时，

【注意】

（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．

（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．

（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．

（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．

【诊断自测】（????）

A． B． C． D．

知识点3：平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．

2、平面向量基本定理

如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．

推论1：若，则．

推论2：若，则．

3、线段定比分点的向量表达式

如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．

D

D

A

C

B

4、三点共线定理

平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．

A、B、C三点共线