现代通信原理答案文本版(-罗新民)-指导书-第四章-信号设计导论-习题详解.docVIP

第四章信号设计导论

4-1信号设计时所考虑的基本前提和原则是什么？试举几个具有脉冲压缩性能的信号单元的例子。

答：信号设计时所考虑的基本前提和原则是：

1.输出端信号在判决时刻具有最大输出信噪比。

2.信号单元具有尖锐的自相关函数－即具有脉冲压缩性能。

3.信号单元之间的互相关量很小，且与自相关量有明显差别，即信号单元之间有良好的可分辨性。

举例：矩形信号通过匹配滤波器后输出为一三角形脉冲（其自相关函数）。

4-2设高斯脉冲信号为

试计算对该信号匹配的滤波器的传输函数和输出最大信噪比（设滤波器输入端的白噪声功率谱密度为）。

解：由习题2-15的结论可以得到，

故匹配滤波器的传输函数为

由于信号能量为

，

所以输出最大信噪比为

4-3已知信号和如图E4.1所示。试分别画出对信号和匹配的滤波器的冲激响应及输出响应波形，并且标出关键点的值（峰值及波形宽度等）。

图E4.1

解：（1）匹配滤波器的冲激响应为

左下图为时的。

的自相关函数为

所以匹配滤波器输出响应为

右下图所示为时的。

时

（2）匹配滤波器的冲激响应为

左下图为时的。

的自相关函数为

所以匹配滤波器的输出为

右下图所示为时的：

时

4-4试证明：矩形脉冲通过RC低通滤波器的输出最大信噪比为匹配滤波器输出最大信噪比的0.816倍。即矩形脉冲通过RC准匹配滤波后的最大信噪比，比匹配滤波输出的最大信噪比仅低约0.8dB。[提示：先求出准最佳滤波器的最佳RC的值，并利用超越方程的解]

解：RC低通滤波器如下图所示，充电时间（即脉冲宽度）为T，脉冲幅度为A。

RC

R

C

s(t)

可得电路方程为

解得

，（为阶跃函数）

而RC网络传输函数

所以输出噪声平均功率

，

所以输出信噪比

这是t的单调增函数，在T时刻达到最大，令，则

求最佳RC使达到最大：

令

所以矩形脉冲通过RC低通网络的输出最大信噪比为

而匹配滤波器的输出最大信噪比

所以两者的比为

4-5试画出如图E4.2所示的锯齿波通过匹配滤波器后的输出波形，并计算最大输出信噪比。

E4.2

解：可以写出s(t)的表达式为

计算s(t)的自相关函数R(t)：

而为偶函数，故可画出，从而得到，波形如下图所示

2T0

2T

0

t

y(t)

信号能量为

。

所以最大输出信噪比为

4-6已知信号为

以该信号加白噪声作为滤波器输入，设计对s(t)匹配的滤波器，画出该匹配滤波器的冲激响应和输出信号的波形。

解：匹配滤波器的冲激响应为

其中。s(t)和其冲激响应h(t)的波形如下图所示：

t

t

t

s(t)

h(t)

T

令为

则有

所以

根据能量信号的相关定理，有

由习题4-5已知

因此得到s(t)的自相关函数和匹配滤波器输出的波形如下：

2T

2T

0

t

y(t)

4-7设有一持续时间为3s的信号，在白噪声功率谱为的背景下传输，用匹配滤波器检测该信号。

=1\*GB3①试求出该信号的匹配滤波器冲激响应；

=2\*GB3②计算该匹配滤波器的传递函数；

=3\*GB3③求匹配滤波器的输出信号波形；

=4\*GB3④求匹配滤波器输出平均噪声功率；

=5\*GB3⑤求输出最大信噪比；

=6\*GB3⑥确定输出噪声分量的自相关函数。

解：

=1\*GB3①

=2\*GB3②，其中是s(t)的傅里叶变换。

=3\*GB3③，其中是s(t)的自相关函数。

=4\*GB3④输入白噪声功率谱密度函数为，令匹配滤波器输出噪声功率谱密度为，则有

因此输出平均噪声功率为

根据能量信号帕斯瓦尔定理，有

因此，可以得到匹配滤波器输出平均噪声功率为

，其中为输入信号能量

=5\*GB3⑤匹配滤波器输出最大信噪比为

=6\*GB3⑥输出噪声功率谱密度为

因此输出噪声自相关函数为其傅里叶反变换：

4-8（1）对以下的各种信号求对应的匹配滤波器的冲激响应和最大输出信噪比。假定白噪声功率谱为（A、B、C为常数）。

=1\*GB3①

=2\*GB3②

=3\*GB3③

其中是阶跃函数，是高度为1、宽为T的矩形函数，是高度为1、底宽为2的等腰三角形函数。

（2）求以上所有情况下匹配滤波器的传递函数。

解题思路：题目所给信号均是具有特定形状的信号波形，解题前现作出其波形，有助于冲激响应和最大输出信噪比的确定。在求解匹配滤波器传递函数时，应充分利用信号形状（三角形或矩形），根据矩形及三角形信号波形的傅里叶变换来求解。

解：=1\*GB3①取