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二次函数与最值的六种考法-重难点题型

【知识点1定轴定区间】

对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：

（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．

（2）若，如图②，当，；当，．

（3）若，如图③，当，；当，．

（4）若，，如图④，当，；当，．

【知识点2动轴或动区间】

对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．

【题型1二次函数中的定轴定区间求最值】

【例1】（2021春?瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）

A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4

C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4

【变式1-1】（2020秋?龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．

【变式1-2】（2021?哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．

【变式1-3】（2020秋?番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．

【题型2二次函数中的动轴定区间求最值】

【例2】（2021?雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）

A．3 B．﹣3或38 C．3或?38

【变式2-1】（2021?瓯海区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）

A．1 B．34 C．?35

【变式2-2】（2021?章丘区模拟）已知二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，则a的值为（）

A．1或﹣2 B．?2或2 C．﹣2

【变式2-3】（2021?滨江区三模）已知二次函数y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1（m≥0，n≥0），当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则

A．4 B．6 C．8 D．49

【题型3二次函数中的定轴动区间求最值】

【例3】（2020秋?马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．

【变式3-1】（2021?济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）

A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5

【变式3-2】（2021?宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）

A．﹣6≤t≤2 B．t≤﹣2 C．﹣6≤t≤﹣2 D．﹣2≤t≤2

【变式3-3】（2021?莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）

A．23 B．?72 C．3?

【题型4二次函数中求线段最值】

【例4】（2020春?海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．

【变式4-1】（2020秋?镇平县期末）如图，直线y=?34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=?38x2+34x+3经过B，C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过点E作y轴的平行线交直线BC

【变式4-2】（2021?埇桥区模拟）对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标．

（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

【变式4-3】（2020秋?滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+52与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；

（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

【题型5二次函数中求线段和最值】

【例5】（2020秋?安居区期末）如图，在抛物线y＝﹣x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2