小数君：上海中学况亦军老师的150道题(1).pdfVIP

目录

第一讲函数····································1

第二讲方程····································42

第三讲不等式····································83

第四讲试验•想象•猜测•证明·····················116

第五讲基本量····································159

第六讲等价•对偶································184

第七讲分类····································221

第八讲数值化•图形化·····························263

第九讲创新····································305

目录2

第一讲函数

知识梳理与方法点拨

函数是数学领域最重要的概念之一.函数的有关知识在世界各国

的中学数学教科书中都有相当的篇幅.它包括函数的概念以及定义域、

值域、奇偶性、单调性、周期性等各种函数的基本性质,并研究正比

例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、

三角函数和反三角函数等各种特定初等函数的图像以及它们各自所具

有的特别性质.但是,函数是一个具有丰富内涵的数学概念,函数的每

一种性质都是从某一个侧面对函数的某一些特征的描述,因此,我们还

可以有更多的视角对函数的性质加以更深入的考察.如中学数学一般

都不研究函数图像的弯曲情况(高等数学中有一些用以刻划函数图像

的弯曲状况的概念如“凸函数”,“曲率”,“拐点”等等).中学数学

主要研究函数的最大值与最小值,几乎不涉及求解函数极值问题(函

数的最大值与极大值是两个有联系但又是有本质区别的概念).另一方

面,即使是同一个问题,研究的方法也是多种多样的,比如函数单调性

的研究,中学数学领域通常的方法是借助函数的图像对函数单调性的

结论作出一个合理的猜想然后再根据函数单调性的概念加以证明,但

在高等数学领域函数单调性的研究可能会更多地以“导数”作为解决

问题的工具.因此,中学数学所提供的函数知识只能说是对“函数”作

了一个初步的刻划,就像我们对身边的某一位同学,在获悉了姓名、性

别、年龄、身高、体重等信息以后,我们对他(她)好像有一个大致的

了解,但随着接触的增加,我们会感到对他(她)了解更多,但也会觉得

他(她)不被人们了解的方面也更多.对于函数的研究可以说大体上也

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第1讲函数2

是如此,这样一段解说无非是想说明一个观点,各种不同的函数以及函

数的各种不同的性质,都只是构建“函数”这个数学基本概念的一些

组成部分,它们都不是孤立的,而是相互依存、相互制约,它需要我们

把相关的知识编织成一个紧密的网络体系,能够灵活地、综合地运用

它们来研究面临的问题.

函数本身是最重要的数学研究对象,但它同时又是最重要的数学

研究工具.针对不同学龄段的学生,对于函数概念,我国的中学数学教

材采用了一种比较倾向于直观描述的定义方式和另一