1.6 最小（大）角定理与空间角比较大小.doc

最小（大）角定理及应用

一．基本原理

1.三余弦定理：

设为面上一点，过的斜线在面上的射影为，为面上的一条直线，则

证明：如图，过点作，由于，则，从而.

于是，，于是得证：

2.推论（最小角定理）：由于.

这说明：线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，

又称最小角定理.（公众号：凌晨讲数学）

3.最大角定理

锐二面角在一个半平面内的动直线与另一个半平面所成的线面角小于等于此二面角的平面角.

二．典例分析

例1.（2023届武汉9月调考）

在四棱锥中，，且，，，若该四棱锥存在半径为1的内切球，则_____.

例2（2017年全国卷3理16）为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线与成角时，与成角；

②当直线与成角时，与成角；

③直线与所成角的最小值为；

④直线与所成角的最小值为.

其中正确的是_______（填写所有正确结论的编号）.（公众号：凌晨讲数学）

例3（2018浙江8）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点）.设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则.

A.B.C.D.

例4.（2020年浙江卷）如图，在三棱台中，平面平面，，.

（1）证明：.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

例5.点是直角斜边上一动点，将直角沿着翻折，使与构成直二面角，则翻折后的最小值是_______．

三．习题演练

1．（2021?浙江月考）如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，是棱上的动点．记直线与平面所成的角为，与直线所成的角为，则，的大小关系是

A． B． C． D．不能确定

习题2．如图，三棱锥中，，，，，，分别是，，的中点，记直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，平面与平面所成的锐二面角为，则

A． B． C． D．

习题3.双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点且满足.点在线段上且满足.现将沿着折成直二面角.若折叠后距离最小，则（）

A.B.C.D.

习题4．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则

A．， B．， C．， D．，