1.3 杨辉三角形及应用.docx

1.3杨辉三角形及应用

一．基本原理

①杨辉三角形

如图所示，从图中可以直观地得到前四个数列的求和公式：

②（常数列的和）；

③（等差数列的和）；

④（二阶等差数列的和）；

⑤（三阶等差数列的和）.

⑥可以发现：自腰上右上角的某个开始，平行于左边腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即.

由一般性的公式可以猜到阶等差数列的求和公式：（可以用数学归纳法来证明）

二．典例分析

例1．如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前项的和为（????）

A．680 B．679 C．816 D．815

解析：根据“杨辉三角”，得

，

因此，此数列的前30项和为：

..故选：D.

例2．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（????）

A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数

B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等

C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则

D．第34行中第15个数与第16个数之比为

解析：第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28，它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确；第行是二项式的展开式的系数，故第行中第个数为，第个数为，又，B正确；

“杨辉三角”第行是二项式的展开式的系数，所以，

，C正确；

第34行是二项式的展开式的系数，所以第15个数与第16个数之比为，D不正确.故选：D.

例3．在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：?类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（????）

A． B． C． D．

解析：由杨辉三角中观察得可得.推广，得到

即，由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为

故选:B

例4．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.

我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.

；

若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是（????）

A． B．

C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为

解析：.

对选项A：，正确；

对选项B：，错误；

对选项C：当时，，错误；

对选项D：当时，，错误；故选：A

下面来看杨辉三角形与数列的综合问题

例5．杨辉三角由我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》中提出，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，图形如图.记从上往下每一行各数之和为数列，比如，，，则数列的前n项之和为__________.

解析：由杨辉三角及二项式系数的性质知第行且所有数之和为

则第行所有数之和为，

等比数列求和得，

则数列的前n项之和为.故答案为:.

三．习题演练

1．我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：为各项非零的等差数列，其前项和为，且，则数列的前项和________________.

1.3参考答案

1.解析：根据“杨辉三角”中的几何排列规则可得

所以数列的通项公式为，又数列为各项非零的等差数列，

由等差数列前项和公式可得，即，又，所以，即数列的通项公式为可得数列的前项和.

，可得

所以，故答案为：.