2025年中考数学总复习+题型7　二次函数的综合应用+课件.pptxVIP

题型7二次函数的综合应用

模型1抛物线中线段长度最大问题特点过抛物线上一动点,向x轴作垂线而形成的线段图示M是动点,MN∥y轴结论①MN=yM-yN;②用二次函数的性质求线段最值

【针对训练】1.(2024·临夏州中考)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC.(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,点P是线段BC上方的抛物线上一动点,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,请问线段PQ是否存在最大值?若存在,请求出最大值及此时点P的坐标;若不存在请说明理由.(3)如图2,点M是直线BC上一动点,过点M作线段MN∥OC(点N在直线BC下方),已知MN=2,若线段MN与抛物线有交点,请直接写出点M的横坐标xM的取值范围.

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模型2抛物线中图形的周长最大问题特点过抛物线上一动点,向x轴作垂线形成的线段,进而形成的直角三角形图示M是动点,MN∥y轴,ME⊥AC结论①△MNE∽△ACO→△MNE的三边之比固定;②MN=yM-yN,△MNE的周长最大问题转化为MN最长问题

【针对训练】2.(2024·淄博二模)如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)与y轴交于点C,连接AC,BC.(1)求该抛物线及直线BC的函数解析式;(2)如图2,在BC上方的抛物线上有一动点P(不与B,C重合),过点P作PD∥AC,交BC于点D,过点P作PE∥y轴,交BC于点E.在点P运动的过程中,请求出△PDE周长的最大值及此时点P的坐标.

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模型3抛物线中线段的比值最大问题特点过抛物线上一动点,与x轴上一点相连,形成的两线段的比图示M是动点,作MN∥y轴,得△MND∽△OCD结论①△MND∽△OCD→=;②OC是定值,故MN最大时,最大

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(3)由中心对称可知,抛物线F与F的公共点E为直线y=-1与抛物线F的右交点,∴-x2-2x+2=-1,∴x1=-3(舍),x2=1,∴E(1,-1).∵抛物线F:y=-x2-2x+2的顶点坐标为(-1,3),∴抛物线F的顶点坐标为(3,-5),∴抛物线F的对称轴为直线x=3.如图2,当BE为对角线时,由题知xE-xG=xH-xB=3,∴xG=-2,∴G(-2,0).

如图3,当BE为边时,由题知xH-xG=xE-xB=1,∴xG=2,∴G(2,4).如图4,由题知xG-xH=xE-xB=1,∴xG=4,∴G(4,6).综上:点G的坐标为(-2,0),(2,4),(4,6).

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模型4抛物线中线段和的最值问题特点过抛物线上一动点,形成的两线段的和图示P是动点,作PE∥y轴,PF∥x轴,△PDF∽△OCB结论由△PDF∽△OCB得PD∶PF为定值,PF可用PD表示,PE+PF最大即转化为PE与PD最大问题

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模型5抛物线中三角形面积最值问题特点过抛物线上一动点,与另外两个定点相连形成的三角形图示M是动点,作MN∥y轴,得S△MAC=MN·AO结论MN最大时,S△MAC最大

三角形面积转化求解法S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCDS△ABC=×BD×(h1+h2)

三角形面积转化求解法PP∥BC,则S△PBC=S△PBC

【针对训练】7.(2024·遂宁中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),P,Q为抛物线上的两点.(1)求二次函数的解析式;(2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称,△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,求点Q的坐标;(3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m+1,试探究:△OPQ的面积S是否存在最小值,若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.

【解析】(1)由题意得:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),则-3a=-3,a=1,则抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,抛物线的对称轴为直线x=1,因为点P,C关于抛物线对称轴对称,则点P(2,-3),设Q(m,m2-2m-3),∵∠OPQ=90°,∴OP2+PQ2=OQ2,∴[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-m)2+(-3-m2+2m+3)2]=(0-m)2+(0-m2+2m+3)2,

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本课结束