北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 复习题四》优质课教案_7.pdfVIP

第十九讲函数与方程思想

【考情分析】

观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以

及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内

容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%

左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求

的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考

中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中

新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所

在。

在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、

解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）

解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直

线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构

造方程求解。

预测2017年高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方

面：①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解

决实际问题；②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理

函数、方程、不等式问题；③是利用函数与方程思想研究数列、

解析几何、立体几何等问题．在构建函数模型时仍然十分注重“三

个二次”的考查．特别注意客观形题目，大题一般难度略大。

【知识归纳】

函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，

求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，

但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运

用使我们解决问题的重要手段。

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，

ff

方程(x)＝0的解就是函数y＝(x)的图像与x轴的交点的横坐

ff

标，函数y＝(x)也可以看作二元方程(x)－y＝0通过方程进行

研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两

个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不

等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研

究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转

化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许

多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题

也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基

本思想，也是历年高考的重点。

1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数

学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像

和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思

想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数

知识或函数观点观察、分析和解决问题；

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建

立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运

用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学

是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方

程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的

等量关系；

3．函数的思想与方程的思想的关系

在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法

来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决．对

于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以

把函数y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程可相互

转化。

4．函数方程思想的几种重要形式

（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y

＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做

二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值

域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函

数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零

点；

（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，

当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解

决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；

（3）数列的