【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题13 数学归纳法 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版.docxVIP

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【高中数学竞赛真题?强基计划真题考前适应性训练】

专题13数学归纳法真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、填空题

1．（2019·全国·高三竞赛）在数列中，，，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.则=_______.

2．（2019·全国·高三竞赛）已知实数列定义为，.设.则中有______个完全平方数.

二、解答题

3．（2021·全国·高三竞赛）数列满足：，求的通项公式．

4．（2021·全国·高三竞赛）求所有的函数，满足，且对于所有整数，有.

5．（2021·全国·高三竞赛）已知.证明：当时，.

6．（2018·全国·高三竞赛）设，求证:

（1）;

（2）．

7．（2018·全国·高三竞赛）设个实数；满足条件

（1）；

（2），；

（3），.

求证：.

8．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足,,.证明:对任意的,.

9．（2018·全国·高三竞赛）若百位数字为9的位自然数的各位数字之和为，其中，当的值最小时，是多少？

10．（2019·全国·高三竞赛）求证：数列的每一项都是整数，但都不是3的倍数.

11．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足，，试求．

12．（2018·全国·高三竞赛）已知数列满足，且对所有正整数有.求证：存在正整数，使得.

13．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数m、k，有n个选手参加一次测试，该测试由m个项目构成，每个项目完成后都会取得一个评分，没有两个人在一个项目取得相同的评分．求n的最小值，使得总存在k个选手，在第j个项目中的k个得分要么单调递增，要么单调递减，．

14．（2018·全国·高三竞赛）正整数数列满足：

（1）求；

（2）求最小的正整数，使得．

15．（2018·全国·高三竞赛）给定两个数列，满足，;，，证明：对任意的可表为两个正整数的平方和．

16．（2021·全国·高三竞赛）设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．

17．（2021·全国·高三竞赛）已知n个非负实数和为1．求证：．

18．（2021·全国·高三竞赛）设数列满足.求证：.

19．（2018·全国·高三竞赛）定义在正整数集上，且满足，.求证：对所有整数，有.

20．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数．求最大的实数．使得对任意正实数恒成立，其中．

21．（2018·全国·高三竞赛）数列满足：，.求证：对一切，均有.其中表示不大于实数的最大整数，是斐波那契数列：.

22．（2018·全国·高三竞赛）已知数列．求证：．

23．（2018·全国·高三竞赛）给定正整数，对于正整数，集合.集族满足如下条件：

（1）的每个集合都是的元子集；

（2）中的任意两个集合至多有一个公共元素；

（3）的任意一个元素恰出现在中的两个集合中.

试求的最大值.

24．（2018·全国·高三竞赛）奥运会排球预选赛有支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负．如果其中有支球队满足：胜，胜，胜，胜，则称这支球队组成一个“阶连环套”．证明：若全部支球队组成一个阶连环套，则对于每个及每支球队，必与另外某些球队组成一个阶连环套．

25．（2019·全国·高三竞赛）求满足下列条件的最小正整数t，对于任何凸n边形，只要，就一定存在三点，使的面积不大于凸n边形面积的.

26．（2019·全国·高三竞赛）正整数数列满足：，．试求通项公式．

27．（2019·全国·高三竞赛）设是定义在自然数集合上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数,有.

(1)求;

(2)假设是100个两两不相等的自然数,求;

(3)是否存在符合题设条件的函数,使,证明你的结论.

28．（2018·全国·高三竞赛）设，其中，b为正奇数.定义数列满足，.若正整数，使得为素数.证明：.

29．（2019·全国·高三竞赛）求证:存在唯一的正整数数列，使得，.

30．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）我们称为“花式集合”，如果它满足如下三个条件：

（a）；

（b）的每个元素都是包含于中的闭区间（元素可重复）；

（c）对于任意实数中包含的元素个数不超过1011.

对于“花式集合”和区间，用表示使得的对的数量.求的最大值.