微专题16　相似三角形之五大模型+课件+2025年九年级中考数学总复习人教版（山东）.pptxVIP

微专题16相似三角形之五大模型

模型1A字型(公共顶角)特点两个三角形有一个公共角∠BAC,或者有DE∥BC,或者DE与BC不平行,有∠ABC=∠AED示例思路结论△ADE∽△ABC或△AED∽△ABC.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论

【针对训练】1.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E,F分别为AC,BC的中点,连接EF,H为AE的中点,过点H作HD⊥AC,交BC于点D,连接DE,则与△ABC相似(不含△ABC)的三角形个数为()A.1 B.2 C.3 D.4B

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4.(2024·广元中考)数学实验,能增加学习数学的乐趣,还能经历知识“再创造”的过程,更是培养动手能力,创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图1)产生了如下问题,请同学们帮他解决.

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模型28字型(对顶角相等)特点有一组对顶角,一组相等的角示例思路结论△AOB∽△DOC或△AOB∽△COD.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论

【针对训练】5.如图,AD,BC交于点O,且△AOB∽△DOC,点A的对应点为点D,若∠A=30°,∠COD=100°,则∠C的度数为()A.20° B.30° C.40° D.50°D

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7.(2024·河北中考)如图,△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,点A是线段BB1的中点.(1)△AC1D1的面积为_______;?(2)△B1C4D3的面积为_______.?17

模型3旋转型(手拉手模型)特点A字型的两个三角形是初始状态,一个三角形绕着公共的顶点开始旋转,形成的图形示例思路结论△ADE∽△ABC或△ADB∽△AEC

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9.(2024·德州宁津县二模)如图,点C是线段AB上的动点,分别以AC,BC为边在AB的同侧作正方形ACDE与正方形CBFG,连接EF交线段BD于点H,连接EC,CH.下列结论①EF=2BD,②∠EHD=45°,③∠CEF=∠CDB,④CH2=EH·FH,其中正确的有____________.(只填序号)?②③④

10.(2024·枣庄山亭区二模)综合实践问题背景:借助三角形的中位线可构造一组相似三角形,若将它们绕公共顶点旋转,对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系,数学小组对此进行了研究,如图1,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,分别取AB,AC的中点D,E,作△ADE.如图2所示,将△ADE绕点A逆时针旋转,连接BD,CE.(1)探究发现:旋转过程中,线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系?写出你的猜想,并证明.(2)性质应用:如图3,当DE所在直线首次经过点B时,求CE的长.

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模型4一线三等角型(K型)特点在一条线段上有三个相等的角示例思路结论通过三角形内外角关系、内角和相等、平角可得另外一组对应角相等,从而得到△ABC∽△CDE

【针对训练】11.(2024·德州禹城市模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时,直角边MP始终经过点A.设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q.BP=x,CQ=y,那么y与x之间的函数解析式为____________________.??

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13.(2024·济宁兖州区二模)如图,在矩形ABCD中,AB=13,BC=12,E是AD边上的一点,将△ABE沿着BE折叠,点A恰好落在CD边上的点F处,连接BF.(1)求证:△EFD∽△FBC;(2)求tan∠AFB的值.

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模型5对角互补型特点有一对互补的对角示例思路结论过一个直角顶点向两边作垂线,得到△PGE∽△PHF

【针对训练】14.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=_______.?3

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【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠FBC=90°,∵BE⊥CF于点O,∴∠BOC=90°,∴∠ABE=90°-∠OBC=∠BCF,∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴BE=CF.答案:BE=CF

(2)①如图,作OM⊥AD于点M,ON⊥CD于点N,则∠OMD=∠OND=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠MDN=∠A=∠BCD=90°,∴四边形OMDN是矩形,∴∠MON=90°,∵PE⊥CF于点O,∴∠COE=90°,∴∠CON=∠EOM=90°-∠EON,∵∠ONC=∠OME=90°,∴△