专题28 与圆有关的计算（讲义）（3考点+30题型）.docxVIP

第28讲与圆有关的计算

考点要求

新课标要求

命题预测

正多边形与圆

了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.

该板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综合题，对多数考生来说也是难点，2024年各地中考肯定还是会考查.

弧长、扇形面积、圆锥的有关计算

会计算圆的弧长、扇形的面积.

不规则面积的有关计算

考点一正多边形与圆

夯基·必备基础知识梳理

1.正多边形的相关概念

正多边形概念

各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.

正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

正多边形的半径

正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形的中心角

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

正多边形的边心距

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

2.正多边形的常用公式

边长

an=2Rn?

周长

Pn=n?an

外角/中心角度数

360°

面积

Sn=12an?rn?

对角线条数

n(n?3)

边心距

rn=Rn?cos180

内角和

（n-2）×180°.

内角度数

（n?2）×180°

n边形的边数

（内角和÷180°）＋2

a

Rn2=rn2+an

【解题思路】

正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算．

3.正多边形常见边心距与边长的比值

图形

OA:AB:OB

内切圆与外接圆半径的比

等边三角形

1:3:

1:2

正方形

1:1:

1:

正六边形

3:1:2

3:2

【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.

提升·必考题型归纳

题型01求正多边形中心角

【例1】（2021·辽宁沈阳·统考二模）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（????）

A．30°,1 B．45°,2 C．60°,3

【变式1-1】（2022·四川广安·统考二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（????）

A．72° B．60° C．48° D．36°

【变式1-2】（2020·上海金山·统考一模）正十边形的中心角等于度．

题型02求正多边的边数

【例2】（2023·河北保定·统考二模）如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是（????）

??

A．4 B．5 C．6 D．7

【变式2-1】（2023·广东阳江·统考二模）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（????）

A．4 B．6 C．8 D．10

【变式2-2】（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为（????）

A．7 B．8 C．9 D．10

【变式2-3】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为．

题型03正多边形与圆中求角度

【例3】（2023·安徽六安·统考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（????）

??

A．30° B．36° C．45° D．60°

【变式3-1】（2022·广西南宁·校联考一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点，则∠AOC的度数是（????）

A．144° B．130° C．129° D．108°

【变式3-2】（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为°．

题型04正多边形与圆中求面积

【例4】（2022·山西大同·校联考一模）如图，是一张边长为2的正六边形纸版，连接对角线，则阴影部分的面积是（）

??

A．33 B．63 C．6

【变式4-1】（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是．

【变式4-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设⊙O的半径为2，若用⊙O的内接正六边形的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为．

【变式4-3】．（20