线性系统的能控性与能观性分析.ppt

§3连续系统能观性及其判据系统的能观性用来表示系统输出量对状态量的测辨能力，当研究从能测量的输出量间接获取不能直接测量的状态量的问题时，首先要研究系统是否具备能观性。一、能观性定义与系统的输入量无关，令1．状态能观：对于上面系统和指定的初始时刻，能够根据有限的时间区间内测量到的输出量唯一地确定系统任意的非零初始状态，则称该状态在时刻是能观的。如果在一个时间区间内，无论状态量如何变化，而输出量始终不变，那么状态是不能观的。于是，可等价地给出状态不能观的定义。对于上面系统，如果状态空间中所有的非零状态在时刻都不是不能观的，则称系统在时刻是状态完全能观的，简称系统在时刻能观。对于上面系统和指定的初始时刻，如果存在非零初始状态，使系统的输出响应在有限的时间区间内恒为零，则称该状态在时刻是不能观的，记作。2．状态不能观：3．系统能观：同样，线性时变连续系统强调了“时刻”的能观性，若与初始时刻无关，则称一致能观。定常系统的能观性与初始时刻无关，所以不必强调时间，称状态能观或系统能观。引入确定性的外部输入不影响系统状态的能观性。是状态在不能观子空间上的投影向量，为状态的不能观分量；二、能观性基本判据1．不能观子空间：系统能观性考察的是状态空间中是否所有的非零状态都能观。把状态空间中全体不能观状态的集合称为不能观子空间，记作，它是系统状态空间X的一个线性子空间。在状态空间X中还可以得到不能观子空间的正交补空间，记作，它也是系统状态空间X的线性子空间，同样有状态空间内的任一向量x都可以表示为在上述两个子空间的投影向量之和，即：是状态在正交补空间上的投影向量，为状态的能观分量；直和示例4中，只有满足的状态是不能观的，如图是不能观子空间，是不能观子空间的正交补空间。直线上的状态都是不能观的，它们在上的投影向量为零，在上的投影向量非零。不位于直线上的状态点x在上的投影向量非零，为，在上的投影向量为。可见，由系统的输出测量值所确定的初始状态值是过状态点x与直线平行的一条直线。即同样的输出测量值对应了无数个初始状态，但是如果要确定距离状态空间原点最近（范数最小）的初始状态，则只有唯一的一个，为，位于正交补空间上。可以认为不能观子空间以外的状态都是能观的，在最小范数的意义下，将正交补空间称为能观子空间，其上的是能观状态。2．能观性基本判据：上面系统的输出响应可表示为：由不能观状态的定义可得：各元素全为0，的列向量组线性无关能观性基本判据：系统在时刻状态完全能观的充要条件是维时间函数矩阵的n个列向量线性无关，其中。可以证明，时间函数矩阵的n个列向量线性无关与下面矩阵非奇异完全等价：矩阵称为能观性格拉姆（Gram）矩阵，有能观性基本判据的另一种表达形式。能观性格拉姆矩阵判据：系统在时刻状态完全能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵非奇异，其中。根据能控性格拉姆矩阵判据，可以出一个能观的初始状态为：三、能控性与能观性的对偶关系能控性基本判据：的n个行向量线性无关能观性基本判据：的n个列向量线性无关的n个列向量线性无关的n个行向量线性无关则系统的能控性等价于的能观性，系统的能观性也等价于的能控性。称满足上述关系的两个系统互为对偶系统。两个系统1．对偶系统：且有：或互为转置逆而它们的系统矩阵满足关系：这是