第二节-二重积分的计算法一.pptVIP

第二节二重积分的计算法一、直角坐标系下的计算法二、极坐标系下的计算法.

应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,基本思路：化为定积分.

一、直角坐标系下的计算法.yxoabDyxoabDyxoabD1.X－型积分区域D:?1(x)≤y≤?2(x),a≤x≤b特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点..

zxoabyx+dxxA(x)A(x)?1(x)?2(x)z=f(x,y)yz.

后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线,先交的为下限,后交的为上限。D是X型区域，二重积分化为先对y，后对x的二次积分。关键：确定各积分变量的积分限。.

例1其中D为y2=x和y=x2所围的闭区域.yxoy=x211解:D为X－型区域.

2.Y－型积分区域D：?1(y)≤x≤?2(y),c≤y≤dyxocdDx=?1(y)x=?2(y)yxoDx=?1(y)x=?2(y)cdyxocdDx=?1(y)x=?2(y).

后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线,先交的为下限,后交的为上限。D是Y型区域，二重积分化为先对x，后对y的二次积分。关键：确定各积分变量的积分限。.

yxox=y211D也为Y－型区域例1’其中D为y2=x和y=x2所围的闭区域..

例2其中D为由x=0和y=0及y=2?2x所围成闭域.yxo21y=2?2x解:D为X－型区域.

yxo21D也为Y－型区域.

xyoX－型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.3.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割..

yxox=y例3计算其中D由y=2,y=x及xy=1所围闭区域21解:D为Y－型区域??.

若先对y再对x积分yxo21x=yD1D2D也为X－型区域.

例4改换二次积分的积分次序.解：D：0≤y≤x,0≤x≤1D1yy=xx01.

例5改换二次积分的积分次序.解：D1yx210?x2+(y–1)2=1?.

yxoy=xy=1x=0D解区域D既是X－型，又是Y－型的但siny2的原函数不是初等函数原积分不能直接得到先交换交换顺序例6.

yxoy=xy=1x=0D解区域D既是X－型，又是Y－型的例7.

求两个底面半径相等的直交圆柱所围成立体的体积。yxzoRD1解如图设两个圆柱的方程为xoDyR例8.