第35讲 三角恒等变换（十一大题型）（讲义）（解析版）.docx

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第02讲三角恒等变换

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：两角和与差的正余弦与正切 4

知识点2：二倍角公式 4

知识点3：降次（幂）公式 5

知识点4：半角公式 5

知识点4：辅助角公式 6

解题方法总结 7

题型一：两角和与差公式的证明 8

题型二：两角和与差的三角函数公式 12

题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 14

题型四：利用角的拆分求值 16

题型五：给角求值 18

题型六：给值求值 20

题型七：给值求角 23

题型八：正切恒等式及求非特殊角 26

题型九：三角恒等变换的综合应用 28

题型十：辅助角公式的高级应用 30

题型十一：积化和差、和差化积公式 33

04真题练习·命题洞见 35

05课本典例·高考素材 37

06易错分析·答题模板 40

易错点：不会应用辅助角公式 40

答题模板：三角关系式的化简求值 41

考点要求

考题统计

考情分析

（1）基本公式

（2）三角恒等变换求值

（3）辅助角公式

2024年I卷第4题，5分

2024年II卷第13题，5分

2024年甲卷第8题，5分

2023年II卷第7题，5分

2023年I卷II卷第8题，5分

2022年II卷第6题，5分

2021年甲卷第11题，5分

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用．

这就需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用．

复习目标：

（1）会推导两角差的余弦公式

（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式

（3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用

（4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换

知识点1：两角和与差的正余弦与正切

①；

②；

③；

【诊断自测】.

【答案】/

【解析】.

故答案为：

知识点2：二倍角公式

①；

②；

③；

【诊断自测】已知，则的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，

故选：D．

知识点3：降次（幂）公式

【诊断自测】已知函数．

(1)求的最小正周期和单调区间；

(2)若，，求的值．

【解析】（1）因为，

可得的最小正周期；

令，解得；

令，解得；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）因为，即，

且，则，

可得，

所以.

知识点4：半角公式

【诊断自测】（2024·高三·河北·期末）已知，则的值为．

【答案】

【解析】（法一）

．

（法二）因为，所以，

则

．

故答案为：．

知识点4：辅助角公式

（其中）．

【诊断自测】当时，取最小值，求的值.

【答案】/

【解析】由，

其中，，

又当时，取最小值，

则，且，

所以

故答案为：．

解题方法总结

1、两角和与差正切公式变形

；

．

2、降幂公式与升幂公式

；

．

3、其他常用变式

．

4、拆分角问题：①；；②；③；

④；⑤．

注意：特殊的角也看成已知角，如．

5、和化积公式

6、积化和公式

题型一：两角和与差公式的证明

【典例1-1】阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有

①，

②，

由得③．

令，，则，，代入③得．

(1)利用上述结论，试求的值；

(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：．

【解析】（1）；

（2）证明：根据两角和与差的余弦公式，有

①，

②，

由得③．

令，，则，，代入③得．

【典例1-2】如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，当时，以x轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，．

（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；

（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：．

（附：平面上任意两点，间的距离公式

【解析】（1）两角差的余弦公式为：.

证明：作角的终边与单位圆相交于点

连接，

若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.

根据圆的旋转对称性可知，与重合，

从而，所以.

根据两点间的距离公式，得

化简得.

当时，容易证明上式仍然成立.

（2）证明：由诱导公式可知，.

而

，

故.

即证结论.

【方法技巧】

推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的