集合间的基本关系-高一数学同步学案(人教A版2019必修第一册)(原卷.pdfVIP

1.2集合间的基本关系

【学习要求】

1.理解集合之间的包含与相等的含义．

2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．

3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用．

【思维导图】

【知识梳理】

一、子集

定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这

两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．

记法与读法：记作AB(或BA)，读作A“含于B”(或B“包含A”)．

或

重要结论：

(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA．(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC．

对子集的理解：





(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A





不包含于B，或B不包含A．此时记作AB或BA．(3)注意符号“”与“”的区别：“”只用于





集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能

写成0N．

二、集合相等

如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，

记作A＝B．用Venn图表示如图所示．



对集合相等的理解：(1)A＝BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据；

(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元

素完全相同，就称这两个集合相等；(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合

相等的意义所在；

三、真子集







定义：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集．

记法：记作AB(或BA)．

结论：(1)AB且BC，则AC；(2)AB且A≠B，则AB．

四、空集

定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集．记法：



规定：空集是任何集合的子集，即A

(1)

特性：空集只有一个子集，即它本身，





(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A

【高频考点】

高频考点1.子集、真子集的概念

【方法点拨】

①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，是判断A⊆B的常用方法．

②不能简单地把A“⊆B”理解成A“是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元

素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．

③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.

12021·

【例】（梁河县高一月考）下列命题中正确的是（）

A．空集没有子集B．空集是任何一个集合的真子集

C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集