备战中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶平行四边形附答案.docVIP

备战中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶平行四边形附答案

一、平行四边形

1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案】（1）见解析；

（2）存在，理由见解析;

（3）不成立．理由如下见解析.

【解析】

试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；

（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；

（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．

试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）存在，

理由：若∠BMC=90°，

则∠AMB+∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

∴，

设AM=x，则，

整理得：x2﹣bx+a2=0，

∵b＞2a，a＞0，b＞0，

∴△=b2﹣4a2＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，

∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，

（3）不成立．

理由：若∠BMC=90°，

由（2）可知x2﹣bx+a2=0，

∵b＜2a，a＞0，b＞0，

∴△=b2﹣4a2＜0，

∴方程没有实数根，

∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．

考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质

2．问题发现：

（）如图①，点为平行四边形内一点，请过点画一条直线，使其同时平分平行四边形的面积和周长．

问题探究：

（）如图②，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴正半轴上，点坐标为．已知点为矩形外一点，请过点画一条同时平分矩形面积和周长的直线，说明理由并求出直线，说明理由并求出直线被矩形截得线段的长度．

问题解决：

（）如图③，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴正半轴上，轴，轴，且，，点为五边形内一点．请问：是否存在过点的直线，分别与边与交于点、，且同时平分五边形的面积和周长?若存在，请求出点和点的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2），；（3），．

【解析】

试题分析：（1）连接AC、BD交于点O，作直线PO，直线PO将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分．

（2）连接AC，BD交于点，过、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分．

（3）存在，直线平分五边形面积、周长．

试题解析：（）作图如下：

（）∵，，

∴设，

，，

∴，

交轴于，

交于，

．

（）存在，直线平分五边形面积、周长．

∵在直线上，

∴连交、于点、，

设，，

，，

∴直线，

联立，得，

∴，．

3．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．

（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；

（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；

（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．

①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．

②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．

【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6

【解析】

试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．

（2）根据互补三角形的定义证明即可．

（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．

②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．

试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．

（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．

∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，

∴AB=