2024—2025学年北京市第八十中学高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京市第八十中学高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知，则与的夹角为（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.圆：与圆：的位置关系为（）

A．相交

B．相离

C．外切

D．内切

(★)3.双曲线的焦点坐标是（）

A．

B．

C．

D．

(★)4.下列命题中，正确的是（）.

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

(★★)5.两平行直线与之间的距离为（）

A．

B．

C．0

D．

(★★)6.已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.设，直线，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★★)9.已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（）

A．

B．或

C．或

D．

(★★★★)10.如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

(★★)11.已知向量，，且，则x的值为___________.

(★★)12.方程表示一个圆，则m的取值范围是．

(★★)13.双曲线的离心率为______，渐近线方程为____________．

(★★)14.已知椭圆，则此椭圆的焦距长为__________；设为的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则__________.

(★★★)15.已知实数a，b满足，则的最小值为___________.

(★★★)16.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中.已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的育区中的时长约为________秒（精确到0.1）

三、解答题

(★★)17.如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

(★★★)18.已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)求直线l所过的定点；

(3)当的面积最大时，求直线l的方程．

(★★★)19.如图，正方体的棱长为2，E为的中点.点M在上.

(1)求证：平面；

(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定.

求直线与平面所成角的大小，及点E到平面的距离.

条件①：

条件②：

条件③：平面

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(★★★)20.已知和为椭圆上的两点.

(1)求椭圆C的方程和离心率；

(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围.

(★★★★★)21.设有限集合，对于集合，给出两个性质：

①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集；

②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集.

(1)若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）

(2)若，且集合A为的封闭子集，求的最小值；

(3)若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值.