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北京市朝阳区2024-2025学年度第一学期期中质量检测

高三数学试卷2024.11

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.设集合，集合，则（）

A. B.

C. D.

2.若函数在处取得最小值，则（）

A.1 B. C.2 D.4

3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）

A. B.

C. D.

4.如图，在中，，，则（）

A. B.

C. D.

5.已知单位向量，满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（）

A. B. C. D.

6.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（）

A.1天 B.2天 C.3天 D.4天

7.已知α，β均为第二象限角，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8.已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是（）

A. B.

C. D.

9.在三棱锥O-ABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，点P在底面ABC内，已知点P到OA，OB，OC所在直线的距离分别为1，2，2，则线段OP的长为（）

A. B. C.3 D.

10.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合S的元素个数，为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：

①，；

②，

则的最大值是（）

A.99 B.98 C.97 D.96

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.计算________.

12.在中，已知，则__________；________.

13.已知数列的前n项和为（A，B为常数），写出一个有序数对________，使得数列是递增数列.

14.某种灭活疫苗的有效保存时间T（单位：h）与储藏的温度t（单位：℃）满足函数关系（k，b为常数，其中）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h，在5℃时的有效保存时间是360h，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是________h.

15.对于无穷数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质P.给出下列四个结论：

①存在公差不为0的等差数列具有性质P；

②以1为首项，为公比的等比数列具有性质P；

③若由数列的前n项和构成的数列具有性质P，则数列也具有性质P；

④若数列和均具有性质P，则数列也具有性质P.

其中所有正确结论的序号是________.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.（本小题13分）

在中，.

（I）求的值；

（II）若，，求b及的面积.

17.（本小题15分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，.

（I）求证：平面PAD；

（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值；

（Ⅲ）记平面PAB与平面PCD的交线为l.试判断直线AB与l的位置关系，并说明理由.

18.（本小题13分）

已知函数.

（I）若，求的最小值；

（II）若存在极小值，求a的取值范围.

19.（本小题14分）

设函数.

（I）若，，求的值；

（II）已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求ω，φ的值.

条件①：当时，取到最小值；

条件②：；

条件③：在区间上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

20.（本小题15分）

已知函数.

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）讨论在区间上的零点个数；

（III）若，其中，求证：.

21.（本小题15分）

若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：

①；

②对任意的，都存在正整数，使得.

（I）判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由；

（II）已知数列A：，，，…，是T数列.

（i）证明：对任意的，与不能同时成立；

（ii）若n为奇数，求的最大值.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）