基本不等式的常见题型.pdfVIP

2.基本不等式

一、知识点梳理

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

a＋b

ab

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.

2

22

1a＋b2ab,a,bR(当且仅当a＝b时取等号)



2

a＋b

2ab,a0,b0(当且仅当a＝b时取等号)



2

11

(3)a+2,a0,b0(当且仅当a＝时取等号)

aa

baba

(4)+2,a0,b0(当且仅当＝时取等号)

abab

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).

2

s

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).

4

二、题型全归纳

考点一乘”1”法求最值

14

1.设a,b0,且ab2,则的最小值为_______.

ab

2214

2.已知x,y满足xy3,xy,则22的最小值为_______.

2xyx2y

2xy

3.已知x0,y0,且3,则x3y的最小值为_______.

xy

33

4.已知x,y0,且+1,则x2y的最小值为_______.

x2y2

[题组训练]

1.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.

11

2.若2m＋n＝1上，且m，n为正数，则＋的最小值为________.

mn

14

3.已知正数x,y满足x+y1,则+的最小值为________.

1+

11

4.已知实数a0,b0,+1,则a+2b的最小值是()