高一数学必修第二册 2019(A版)_《空间直线、平面的垂直》教材分析.pdfVIP

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8.6空间直线、平面的垂直

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点:直线、平面垂直的判定定理和性质定理.

难点:直线与平面、平面与平面垂直的性质定理的发现过程，直线、平面垂直的

判定和性质的应用.

三、教科书编写意图及教学建议

上一节，教科书研究了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，

本节在上一节基础上研究空间直线、平面间的另一特殊位置关系——垂直.由于这

是本章最后一节内容，学生的知识积累、解决问题的方法都已较为丰富，所以本节

内容的学习既要继续加强从“一般观念”上的引导，让学生明确“什么是空间直线、

平面的垂直?”以及“空间直线、平面垂直时，其要素（直线、平面)有什么确定的

不变关系”;又要充分类比对空间直线、平面平行关系的研究方式，引导学生研究空

间直线、平面之间的垂直关系．研究的对象尽量由学生去提出，研究的内容要学生

去确定，研究的方法启发学生去寻找．由此培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推

理等素养.

具体来讲，教学时，可以先启发学生回忆上一节关于空间直线、平面平行的研

究过程:

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再引导学生类比地提出如下研究空间直线、平面垂直的内容与路径:

虽然这与教科书的内容不完全一致，但这个过程对于学生形成前后一致、逻辑

连贯的思考是有帮助的，在具体学习过程中再逐步形成并完善出如下认知结构.

本节内容按照直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的研究过程

展开．对于直线与直线的垂直，首先要定义异面直线所成的角的概念，两条直线垂

直包括共面垂直与异面垂直.对于直线与平面的垂直、平面与平面的垂直，主要研究

它们的判定定理和性质定理.直线与平面垂直的判定定理是指一条直线与构成该平

面的基本元素——直线——满足什么条件才能使此直线与该平面垂直，而平面与平

面垂直的判定定理是指构成其中一个平面的直线与另一平面或这个平面内的直线具

备什么条件才能使两个平面垂直，实际上是在寻找平面与平面垂直的充分条件．性

质是指直线与平面垂直、平面与平面垂直时，其基本构成要素具有怎样的确定不变

的关系，实际上是必要条件．性质和判定之间具有互逆的关系，这也是我们研究问

题的一个自然的起点.

本节内容的处理继续遵循“直观感知―操作确认─思辨论证”的认识过程展

开．在经历对典型实例的观察、实验、猜想等合情推理的活动后，概括出直线与直

线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的概念、判定和性质定理，再对性质定

理进行逻辑论证，在学生经历观察、抽象、概括等一系列过程中，培养数学抽象、

逻辑推理等素养．另外，教科书通过观察、思考、探究等栏目向学生提出问题，以

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问题引导学生进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型，从现

实生活空间抽象出几何问题的过程,发展他们的直观想象素养.

“化繁为简”“以简驭繁”是数学研究问题的一般思路．在本节，我们利用直线

与直线的垂直研究直线与平面的垂直，利用直线与直线垂直、直线与平面垂直研究

平面与平面垂直;反过来，由直线与平面垂直又可以得到直线与直线垂直，由平面与

平面垂直又可以得到直线与直线、直线与平面垂直.在这些过程中，确定平面的要素

和一些特殊位置往往是我们研究问题的出发点.

8.6.1直线与直线垂直

1.定义直线与直线垂直需要用“异面直线所成的角”的概念．异面直线所成的

角是由两条相交直线所成的角扩充而生成的，它是指这两条异面直线经过平移后成

为两条相交直线时，这两条相交直线所成的角．角度是刻画方向差异的量，平移不

改变方向，所以可以用如此方法定义两条异面直线所成的角．当两条异面直线在空

间的位置确定后，它们所成的角的大小也是确定的，这个角的范围是0°α

≤90°．两条异面直线互相垂直，即它们所成的角是直角，这是两条异面直线的一

种特殊位置关