《正弦函数的图象与性质再认识》同步学案 (1).docVIP

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《正弦函数的图象与性质再认识》同步学案

问题情境导入

研究一种函数，我们都会去研究它的性质，如：定义域、值域、奇偶性、单调性等，而研究这些性质有一个很好的工具—函数的图象，那么正弦函数的图象究竟是怎样的呢？它的定义域、值域、奇偶性、单调性等又是怎样的呢？前面我们已经利用单位圆探究过正弦函数的基本性质，今天，我们来利用正弦函数的图象探究学习正弦函数的性质.

新课自主学习

自学导引

1.用五点（画图）法画正弦函数的图象的五个关键点是_____.

2.正弦函数的性质：

（1）定义域：_____.

（2）周期性：周期是_____.

（3）单调性：单调递增区间是_____；单调递减区间是_____.

（4）最大（小）值和值域：当_____时，正弦函数取得最大值1；

当_____时，正弦函数取得最小值.值域是_____.

（5）奇偶性：正弦曲线关于原点对称，正弦函数是_____.

答案

1.，，，，

2.（1）R（2）

（3），

（4）

（5）奇函数

预习测评

1.关于函数的图象描述不正确的是（）

A.介于直线之间

B关于x轴对称

C.与y轴只有一个交点

D.在上的图象形状相同，只是位置不同.

2.函数的简图是（）

A.

B.

C.

D.

3.函数的图象与函数的图象关于（）

A.轴对称

B.轴对称

C.原点对称

D.直线对称

4.下列不等式中成立的是（）

A.

B.

C.

D.

5.函数在上的递增区间为_____.

答案

1.

答案：B

解析：正弦曲线关于原点对称，所以选项B不正确.

2.

答案：D

解析：用特殊点来验证时，，排除选项；又时，排除选项B.

3.

答案：A

解析：在同一直角坐标系中画出函数与函数的图象，可知它们关于x轴对称.

4.

答案：A

解析：由于，而正弦函数在上单调递增，所以，所以，即.

5.

答案：

解析：因为在上递增，所以在上的递增区间为.

新知合作探究

探究点1正弦函数图象的画法

知识详解

1.画正弦函数的图象时，一般用描点法，即列表、描点、连线，在精确度要求不太高时，常用五点（画图）法.

2.用五点（画图）法画函数的图象的步骤：

（1）列表：

0

0

1

0

1

（2）描点：在平面直角坐标系中描出这五个关键点.

（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，就得到函数的简图.

[特别提示]

（1）函数的图象与函数的图象关于x轴对称.

（2）函数的图象可以由函数的图象上、下平移得到

（3）函数的图象可以由函数的图象上下拉伸得到

典例探究

例1用五点（画图）法画出下列函数在区间

上的简图：

（1）；（2）.

解析在区间上按五个关键点列表、描点，并用光滑的曲线将这些点顺次连接起来.答案（1）按五个关键点列表：

0

2??

0

1

0

0

2

1

2

3

2

描点并将它们用光滑的曲线顺次连接起来（如图）.

（2）列表如下：

0

0

1

0

0

0

描点连线，如图所示.

变式训练1画出函数的图象.

答案列表：

0

0

1

0

0

1

2

1

0

1

描点，连线，画出图象，如图所示.

探究点2利用正弦函数的图象求函数的定义域

知识详解

1.利用正弦函数的图象可以解决一些与正弦函数有关的复合函数求定义域问题.

一般是先根据定义域的求法列出不等式（组），再求解；涉及解三角不等式时，一般需借助图象求解.

2.利用正弦函数图象解形如的不等式的三个步骤：

（1）画出直线，的图象；

（2）确定时的值；

（3）确定的解集.

[特别提示]

三角函数的图象是研究三角函数的重要工具，通过图象可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.

典例探究

例2求函数的定义域.

解析先写出使函数有意义的条件，然后借助正弦曲线，解不等式，求原函数的定义域.

答案要使函数有意义，需满足，即.画出的图象，如图，直线在上与正弦曲线交于，两点在区间内，时的集合为.当时，若，则的集合为.

故函数的定义域为.

方法技巧解三角不等式，一般先利用正弦函数图象求出范围内的取值范围，然后根据终边相同的角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集.

变式训练2求函数的定义域.

答案由题意知，满足不等式组

即画出的示意图，如图所示.

结合图象可得所求定义域为.

探究点3正弦函数的单调性

知识详解

1.正弦函数的图象在每一个闭区间上，曲线逐渐上升，函数是增函数，的值由增大到1；在每一个闭区间上：曲线逐渐下降函数是减函数，的值由1减小到.

2.正弦函数在每一个闭区间上是增函数；在每一个闭区间上是