高一数学函数的单调性与奇偶性知识精讲 .pdfVIP

高一数学函数的单调性与奇偶性

【本讲主要内容】

一.本周教学内容：

函数的单调性与奇偶性

函数单调性概念；增（减）函数的定义及判定方法；函数奇偶性定义及判定方法。

【知识掌握】

【】

知识点精析

（一）函数的单调性

1.增函数、减函数的定义

一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值

x、x，当xx时，都有f(x)f(x)［或都有f(x)f(x)］，那么就说f(x)在

12121212

这个区间上是增函数（或减函数）。

如果函数yf(x)在某个区间上是增函数（或减函数），就说f(x)在这一区间上具有

（严格的）单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，

如函数为减函数则称区间为减区间。

2.函数单调性可以从三个方面理解

（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f(x)，函数图象如从左向右连续上升，则称

函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f(x)，如函数值随自变量的增大而增大，则

称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递

减。

（3）定量刻画，即定义。

上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径。

注：利用导数研究函数单调性更便捷。

（二）函数奇偶性

1.奇函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)［或

f(x)f(x)0］，则称f(x)为奇函数。

2.偶函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)［或

f(x)f(x)0］，则称f(x)为偶函数。

3.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数

的必要条件是其定义域关于原点对称）。

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

（3）若奇函数的定义域包含数0，则f(0)0。

（4）奇函数的反函数也为奇函数。



（5）定义在，上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函

数之和。

f(x)f(x)f(x)f(x)

即：f(x)

22

（三）几个重要的结论（解题的方法技巧）

1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，

讨论函数的单调性，应先确定函数的定义域。

2.证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可用单调函数的定义，具体方法常用作差

法或作商比较法，运用导函数是大纲要求的。

注意定义的如下两种等价形式：



设x、xa，b，那么

12

f(x)f(x)

12

（1）0f(x)在a，b上是增函数；

xx

12

f(x)f(x)

12

0f(x)在a，b上是减函数；

xx

12





a，b

（2）x