2023—2024学年广东省广州市广州外国语学校高三下学期开学考试数学试卷.docVIP

2023—2024学年广东省广州市广州外国语学校高三下学期开学考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知均为的子集，且，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

(★★)4.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为的球面上，其上、下底面半径分别为和，则该圆台的体积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.已知单位向量，满足，若向量，则＝（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.的展开式中的系数是（）

A．60

B．80

C．84

D．120

(★★★)7.已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.已知a，b，c满足，，则（）

A．，

B．，

C．，

D．，

二、多选题

(★★★)9.设为复数，.下列命题中正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

(★★★)10.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)11.设函数，则（）

A．

B．的最大值为

C．在单调递增

D．在单调递减

三、填空题

(★★)12.椭圆的焦点为，，上顶点为，若，则__________．

(★★)13.对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．

(★★★★)14.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻空间的弯白性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定:多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，正四面体在各顶点的曲率为___;若某多面体满足:顶点数一棱数面数.该多面体的总曲率为____.

四、解答题

(★★★★)15.如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．

(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；

(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．

(★★★★)16.双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上，当时，.

(1)求的离心率；

(2)若在第一象限，在轴的负半轴是否存在定点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

(★★★)17.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

（1）求X的分布列；

（2）若要求，确定n的最小值；

（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？

(★★★★★)18.已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数