6.4.1 样本的数字特征 导学案（含答案）（2024）高一上学期北师大版必修 第一册.docxVIP

§4用样本估计总体的数字特征

4.1样本的数字特征

【学习目标】

1.会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差.

2.理解样本的数字特征的意义和作用,会用样本的数字特征估计总体的数字特征,作出合理解释和决策.

◆知识点平均数、中位数、众数及极差、方差、标准差

数字特征

定义

平均数

指这组数据的平均值.一般地,n个数据x1,x2,…,xn的平均数记为x,其计算公式为x=.?

中位数

把一组数据按的顺序排列后,的那个数据为这组数据的中位数,它使数据被分成的两部分的数据量是一样的?

众数

一组数据中出现次数的数据?

极差

一组数据中的差称为这组数据的极差?

方差

方差刻画的是数据偏离平均数的程度.如果一组数据是x1,x2,…,xn,这组数据的平均数记为x,方差记为s2,则s2=?

标准差

方差的算术平方根为标准差.

s=s2=

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在两组数据中,平均数较大的一组方差较大. ()

(2)平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据偏离平均数的离散程度. ()

(3)一组数据的众数、中位数、平均数均是唯一的. ()

◆探究点一数字特征的计算

例1(1)(多选题)甲、乙两名球员练习罚球,每人练习10组,每组罚球20个,命中个数如下所示:

甲:20,19,17,18,18,16,17,15,20,20

乙:18,19,13,18,19,20,20,20,17,16

则下列结论正确的是 ()

A.甲数据的极差比乙数据的极差小

B.甲数据的中位数与乙数据的中位数相等

C.甲数据的平均数与乙数据的平均数相等

D.甲数据的方差是2.8

(2)(多选题)某学校有1000名学生,为更好地了解学生的身体健康情况,随机抽取了100名学生进行测试,将测试成绩分成[50,60),[60,70),…,[90,100]五组,测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的有 ()

A.频率分布直方图中a的值为0.005

B.估计这100名学生测试成绩的中位数约为77

C.估计这100名学生测试成绩的众数为80

D.估计该校全部学生测试成绩落在[60,70)内的人数为160

(3)五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则这五个数的标准差是.?

[素养小结]

样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计算,且不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数据中的少量信息.平均数表达了数据更多的信息,但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平均数的影响越大,当一组数据中个别数据较大时,可用中位数描述其集中趋势.

◆探究点二数字特征的应用

例2个体户张某经营一家餐饮店,下面是该餐饮店所有工作人员某月的工资表.

工作人员

工资

老板张某

30000元

大厨老张

4500元

二厨小马

3500元

采购员小王

4000元

杂工李阿姨

3200元

服务生小明

3200元

会计小何

4100元

(1)计算所有工作人员该月的平均工资.

(2)由(1)计算出的平均工资能否反映该餐饮店打工人员这个月收入的一般水平?为什么?

(3)去掉老板张某的工资后,再计算平均工资,这能代表该餐饮店打工人员当月收入的一般水平吗?

(4)根据以上计算,结合统计的观点,你对(3)的结果有什么看法?

变式甲、乙两台机床同时加工直径为100cm的零件,为了检验质量,各从中抽取6件测量其直径(单位:cm),所得数据分别记录如下:

甲:9910098100100103

乙:9910010299100100

(1)分别计算两组数据的平均数及标准差;

(2)根据计算结果判断哪台机床加工的零件质量更稳定.

[素养小结]

(1)平均数、中位数与众数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.但当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映这组数据的集中趋势.

(2)方差、标准差描述了数据相对平均数的离散程度.标准差越大,数据越分散,稳定性就越差;标准差越小,数据越集中,稳定性就越好.

拓展某科研课题组通过一款手机APP软件,调查了某市2000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”),得到频率分布直方图如图.

(1)估计样本的中位数(保留一位小数);

(2)根据跑步爱好者的周跑量,将跑步爱好者分成三类,不同类别的跑步爱好者的周跑量及购买的装备的价格如下表:

周跑量

小于20km

不小于20km

且小于40km

不小于40km

类别

休闲跑者

核心跑者

精英跑者

装备价格(单位:元)

2500

4000

4500

根据以上