专题04 圆（考点清单，知识导图+7个考点清单+5种题型解读）原卷版.docx

专题04圆（考点清单，知识导图+7个考点清单+5种题型解读）

l＝nπr

l＝nπr180

s=nπ

s=nπ

【清单01】圆的定义

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

由圆的定义可知：

（1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

（2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．

【清单02】垂直于弦的直径

1．圆的对称性

圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心．

2．垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三.

【清单03】弧、弦、圆心角

1．弧、弦、圆心角相关概念

①连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．圆心到弦的距离叫做弦心距.

②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．

以A、B为端点的弧记作，读作弧AB．

表示：劣弧

优弧或

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

④在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

⑤顶点在圆心的角叫做圆心角.一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数.

2．弧、弦、圆心角之间的关系

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.

结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也都分别相等.

【清单04】圆周角

1．圆心角和圆周角

顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

2．圆周角定理

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半．

如图，．

3．圆周角定理推论

推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）．

如图，是半圆（AB是直径），则

推论2：圆内接四边形的对角互补．

如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即

4．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系．

1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等．

2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等．

3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条．

【清单05】直线与圆的位置关系

1．点和圆的三种位置关系

点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d，

则有：点在圆外?dr；

点在圆上?d=r；

点在圆内?dr；

2．确定圆的条件

①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．

②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

3．直线和圆的关系有三种

位置关系

定义

图形

性质及判定

直线l与相交

直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线．

直线l与相切

直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点．

直线l与相离

直线与圆没有交点．

4．切线的性质和判定

①切线的性质：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直.

②切线的判定：

定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线．

距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．

定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，