2024-2025学年北京市中国人民大学附属中学朝阳学校高三上学期11月统练（期中）数学试卷含详解.docx

人大附中朝阳学校2024~2025学年度上学期高三年级期中试卷

数学试卷

2024年11月1日出题人：金鑫审题人：高爽

一?选择题：（本大题共10小题,每小题4分,共40分）

1.已知集合,,则（）

A B. C. D.

2.下列函数既是奇函数,又在上单调递增的是（）

A. B.

C. D.

3.若,则向量与的夹角为（）

A B. C. D.

4.设为等比数列的前项和,已知,则公比（）

A.2 B.-2 C. D.

5.下列命题中,真命题的是（）

A.若,则 B.若,则

C.若,则 D.若,则

6.设是三个不同平面,且,则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.函数的部分图象如图所示,则以下说法正确的是（）

A. B.

C. D.

8.已知向量,满足,,若,且,则的最大值为（）

A.3 B.2 C. D.

9.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一,图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2）,这两个三棱柱有一个公共侧面．在底面中,若,则该几何体的体积为（）

A. B. C.27 D.

10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口,创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术,设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动,在地面上相距的A,B两点各放置一个传感器,分别实时记录A,B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据,绘制了“距离-时间”函数图像,分别如曲线a,b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和,曲线b经过.已知,并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知,P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（）

A. B.

C. D.

二?填空题：（本大题共5小题,每小题5分,共25分.）

11.复数__________,对应点坐标为__________,虚部是__________,模长为=__________.,共轭复数是__________.

12.已知角在第二象限,且,则=_____________.

13.在中,分别是角的对边,且,则角的取值范围为______．

14.设函数（且）．给出下列四个结论：

①当时,存在,方程有唯一解,

②当时,存在,方程有三个解.

③对任意实数（且）,的值域为.

④存在实数,使得在区间上单调递增.

其中所有正确结论的序号是______．

15.已知数列的前n项和为且,给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②,③,④.其中所有正确结论的序号是__________.

三?解答题：（本大题共5小题,共85分.）

16.已知函数.

（1）求的最小正周期.

（2）求不等式的解集.

（3）从条件①,条件②,条件③选择一个作为已知条件,求的取值范围.

①在有恰有两个极值点.

②在单调递减.

③在恰好有两个零点.

注：如果选择的条件不符合要求,0分,如果选择多个符合要求的条件解答,按第一个解答计分.

17.若△同时满足条件①,条件②,条件③,条件④中的三个,请选择一组这样的三个条件并解决下列问题：

（1）求边的值.

（2）求△的面积.

条件①：,

条件②：,

条件③：,

条件④：.

注：如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.

18.如图,在三棱柱中,平面,,分别是的中点.

（Ⅰ）证明：.

（Ⅱ）证明：平面.

（Ⅲ）求与平面所成角正弦值.

19.已知函数,其中a为常数且.

（1）求曲线在处的切线方程.

（2）讨论函数的单调区间.

（3）当时,若在点处的切线l分别与x轴和y轴于,A,B两点,O为坐标原点,记的面积为S,求S的最小值.

20.已知在处的切线方程为．

（1）求实数的值.

（2）证明：仅有一个极值点,且．

（3）若,是否存在使得恒成立,存在请求出取值范围,不存在请说明理由．

21.已知有限数列,从数列中选取第项,第项,,第项（）,顺次排列构成数列,其中,,则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列,若数列的每一子列的所有项的和都不相同,则称数列为完全数列．设数列满足,．

（1）判断下面数列的两个子列是否为完全数列,并说明由.

数列①：3,5,7,9,11,数列②：2,4,8,16．

（2）数列的子列长度为m,且为完全数列,证明