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n除以9的余数趣题

华南师范大学吴康

熟知以下定理成立:

定理

正整数n除以9的余数r等于f(n)除以9的余数r,等

于g(n)除以9的余数r,亦即

n≡f(n)≡g(n)(mod9),

其中f(n)为n的(十进表示)各位数字和,g(n)为n的(十

进表示)任意分段后各段之和.

以此定理求解几道趣题:

题1.

把1,2,···,2023依次排列组成正整数n,求n除以9的

余数r.

解析

:≡

解n1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+

···+(2+0+2+3)≡1+2+···+2023≡2023×2024÷2≡

2023×1012≡(2+0+2+3)×(1+0+1+2)≡7×4≡28≡

(mod9)=⇒r=1.

题1A.

把2023,2022,···,3,2,1依次排列组成正整数n,求n除

以9的余数r.

解析

解:同上,n≡1(mod9)=⇒r=1.

题2.

222

把1,2,···,2023的十进表示依次排列组成正整数n,

求n除以9的余数r.

解析

解:n≡1+4+9+(1+6)+(2+5)+(3+6)+(4+9)+

(6+4)+(8+1)+(1+0+0)+···+(4+0+9+2+5+2+9)≡

1+4+9+···+4092529≡12+22+32+···+20232≡

2023×2024×4047÷6≡2023×1012×1349≡(2+0+2+3)×

(1+0+1+2)×(1+3+4+9)≡7×4×17≡28×8≡1×8≡

8(mod9)=⇒r=8.

题2A.

222

把1,2,···,2023的十进表示倒序依次排列组成正整数

n,求n除以9的余数r.

解析

解:同上,n≡8(mod9)=⇒r=8.

题3.

333

把1,2,···,2023的十进表示依次排列组成正整数n,

求n除以9的余数r.

解析

解:n≡1+8+(2+7)+(6+4)+(1+2+5)+···+(8+2+

7+9+1+8+6+1+6+7)≡1+8+27+···+8279186167≡

33332222

1+2+3+···+2023≡2023×2024÷4≡2023×1012≡

[(2+0+2+3)×(1+0+1+2)]2≡(7×4)2≡12≡1

(mod9)=⇒r=1.

题3A.

333

把1,2,···,2023的十进表示乱序依次排列组成正整数

n,求n除以9的余数r.

解析

解:同上,n≡1(mod9)=⇒r=1.

题4.

把1×2,2×3,3×4,··