数列的递推关系与通项-高考数学一轮复习(新高考专用).docx

第42讲数列的递推关系与通项

【基础知识回顾】

1、正确选用方法求数列的通项公式

(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．

(2)对于递推关系式可转化为eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．

(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．

2、避免2种失误

(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到eq\f(a2,a1)，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．

(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．

1、数列{an}的前几项为eq\f(1,2)，3，eq\f(11,2)，8，eq\f(21,2)，…，则此数列的通项可能是()

A．an＝eq\f(5n－4,2) B．an＝eq\f(3n－2,2)

C．an＝eq\f(6n－5,2) D．an＝eq\f(10n－9,2)

【答案】A

【解析】数列为eq\f(1,2)，eq\f(6,2)，eq\f(11,2)，eq\f(16,2)，eq\f(21,2)，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为an＝eq\f(5n－4,2).

2、在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(?－1?n,an－1)(n≥2)，则a5等于()

A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,3)

C.eq\f(8,5) D.eq\f(2,3)

【答案】D

【解析】a2＝1＋eq\f(?－1?2,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(?－1?3,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f(?－1?4,a3)＝3，a5＝1＋eq\f(?－1?5,a4)＝eq\f(2,3).

3、(2022·湘豫名校联考)已知数列{an}满足：对任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，那么a20＝()

A.240 B.230 C.220 D.210

【答案】D

【解析】由anam＝an＋m，a2＝2，得a20＝a2a18＝a2a2a16＝aeq\o\al(10,2)＝210.故选D.

4、已知数列{an}中，a1＝1中，an＋1＝an＋n(n∈N*)中，则a4＝________，an＝________.

【答案】7eq\f(n2－n＋2,2)

【解析】由题意可得a1＝1，an＋1－an＝n，

则：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝1＋eq\f(n?n－1?,2)＝eq\f(n2－n＋2,2)，

则a4＝eq\f(42－4＋2,2)＝7.

考向一有递推关系研究数列的通项

例1、（多选题）（2021·山东济南市·高三二模）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（）

A． B．是等比数列

C． D．

【答案】ABC

【解析】

因为，，

所以，

由可得，

所以，

所以，分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列，

所以，

所以，，

综上可知，ABC正确，D错误.

故选：ABC

变式1(2021·崇左二模)数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).将数列{an}的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{bn}，则b21＝()

A.1 B.2 C.3 D.0

【答案】B

【解析】

∵数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).

∴a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，a9＝34，a10＝55，a11＝89，

数列{an}的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{bn}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，…，

可得数列{bn}构成一个周期为6的数列.

∴b21＝b3＝2.

变式2、(多选)在数列{an}中，an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n)，则数列{an}中的最大项可以是()

A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项

【答案】AB

【解析】

假设an最大，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1，))

即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co