数值分析(计算方法)总结.docVIP

第一章绪论

误差来源：模型误差、观测误差、截断误差(方法误差）、舍入误差

εx=|x-x*|是x*的绝对误差，e=x

er=ex=x

相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为:εr即：

绝对误差有量纲，而相对误差无量纲

若近似值x*的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x*的第一位非零数字共有n位，则称近似值x

例：设x=π=3.1415926…那么x*=3,ε1x

科学计数法：记x*=±0.a

由有效数字求相对误差限：设近似值x*=±0.

由相对误差限求有效数字：设近似值x*=±0.a

令x

x+y近似值为x*

x-y近似值为x

xy近似值为x

η(

1．避免两相近数相减

2．避免用绝对值很小的数作除数

3．避免大数吃小数

4．尽量减少计算工作量

第二章非线性方程求根

1。逐步有哪些信誉好的足球投注网站法

设f（a）0，f（b)0，有根区间为（a，b)，从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=(b—a)/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的有哪些信誉好的足球投注网站，即判别f(xk）=f（a+kh）的符号，若f（xk)〉0(而f（xk-1)0)，则有根区间缩小为[xk-1,xk]（若f（xk）=0，xk即为所求根）,然后从xk-1出发，把有哪些信誉好的足球投注网站步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度:｜xk—xk-1｜〈E为止，此时取x*≈（xk+xk-1）/2作为近似根.

2。二分法

设f（x)的有根区间为[a，b］=［a0,b0］，f(a)0,f(b)0。将[a0,b0]对分,中点x0=(（a0+b0)/2),计算f（x0）。对于给定精度

3。比例法

一般地，设［ak,bk］为有根区间，过(ak,f（ak))、(bk，f（bk))作直线，与x轴交于一点xk，则：x=a-

1。试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。

2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。--这正是迭代法的基本思想。

事先估计：|

事后估计|

局部收敛性判定定理：设x*

局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高,即初始点必须选在精确解的附近

Steffensen迭代格式：

x

x

x

Newton法：x

Newton下山法：xk+1

弦割法：x

抛物线法:令t=x-

其中：

a=

b=

c=f(x

x

设迭代xk+1=g(xk）收敛到g(x）的不动点(根)x*设ek=xk—x*若limk→∞ek+1ekp=C，则称该迭代为

第三章解线性方程组直接法

列主元LU分解法:计算主元Si=

u

u

对于Ax=b,三角分解A=LU，Doolittle分解：L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵；Crout分解：L为下三角矩阵，U为单位上矩阵。可分解为:

Ly=b，下三角方程组Ux=y，上三角方程组

y

Cholesky平方根法：系数矩阵A必须对称正定AX=b?

l

改进Cholesky分解法:A=LD

L=

A=

l

c

其中：D

追赶法：Ax=d（A=LU），可化为Ly=d,Ux=y

A=

u

向量范数：:A

矩阵范数:A

谱半径:ρ

收敛条件：谱半径小于1

条件数：Cond=

第四章解线性方程组的迭代法

Jacobi迭代：x

基于Jacobi迭代的Gauss—Seidel迭代：

x

迭代收敛：谱半径小于1，范数小于1能推出收敛但不能反推

逐次超松弛迭代（SOR):

x

或：

当?=1时，就是基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代（加权平均)。

第五章插值法

Lagrange插值法：

l

构造插值函数：L

则：y=

若记：w

则可改为:l

则插值余项:R

逐次线性插值法Aitken(埃特金法）：

L

Newton插值法：

N(x)=a0+a1(x-x0）+a2（x-x0)（x-x1)+…+an(x—x0)（x—x1)…（x—xn)并满足N(x)=f(x）

差商的函数值表示:f

差商与导数的关系:f

则：f

等距节点Newton插值公式：

Newton向前插值:N

余项：R

Newton向后插值：N

余项：R

Hermite插值:H

α

可得：

插值余项:R

待定系数：H

三次样条插值：（三弯矩构造法）

记s

对于附加弯矩约束条件：

2

λ

对于附加转角边界条件：

2

对于附加周期性边界条件:

2

s

上式保证了s(x）