人教A版高中数学必修5《二章-数列--2.1-数列的概念与简单表示法--信息技术应用-估计√2的值》.doc

信息技术应用估计的值

教学目标： 1.进一步熟悉数列通项公式和递推公式；

2.感受信息技术应用在解决一些数学问题上的优势；

3.通过信息技术应用感受数学的美；

教学重点：数列通项公式和递推公式；

教学难点：数列通项公式和递推公式；

教学方法：启发法和尝试指导法

教学过程：

（Ⅰ）背景引入

我们知道，边长为1个单位长度的正方形的对角线长是。最早发现并证明是无理数的，就是毕达哥拉斯学派的数学家希帕索斯。但无理数的发现直接触犯了毕达哥拉斯学派的根本信条-----------万物皆数,从而引发了第一次数学危机。

希帕索斯使用了“几何法”证明为无理数，而今天我们可以多数使用代数方法证明。如用反证法证明是无理数。

（II）讲授新课

为了得到的更为精确的近似值，历史上出现过许多估计的方法。例如，可以用根号2的不足近似值来估计它的大小。当依次取定精确度1,0.1,0.01,0.001,...时，的不足近似值构成无穷数列：

1,1.4,1.41,1.414,...

用程序框图和程序语句表达你的算法。

程序框图对应的程序语句（VB语言）：

D=0.1

A=1

DO

IF(A+D)^2=2THEN

A=A+D

ELSE

PRINTA

D=D/10

ENDIF

LOOPUNTILD=0.000001

END

程序框图对应的程序语句（linuxshell语言）：

#!/bin/bash

D=0.1

A=1

C=1

i=1

jindu=6#规定精度，为10^（-jindu）----eq\o\ac(○,1)

jindu2=$(echoscale=$jindu;(1/10)^($jindu+1)|bc-l)

while((C==1));do

E=$(echoscale=$jindu;($A+$D)^2|bc-l)

F=`expr$E\2`

if[$F-eq0];then

A=$(echoscale=$jindu;($A+$D)|bc-l)

echoa($i)=$A

((i++))

sleep0.03s

else

D=$(echoscale=$jindu;$D/10|bc-l)

fi

C=`expr$D\$jindu2`

done

echo～～～已达规定精确度10^(-$jindu)，根号2的不足近似值为～～～

echo$A

运行程序框图对应的程序语句（linuxshell语言）所得的结果如下：

a(1)=1.1

a(2)=1.2

a(3)=1.3

a(4)=1.4

a(5)=1.410000

。。。

a(14)=1.414212

a(15)=1.414213

如果将程序语句（linuxshell语言）中的第5行中jindu=6改成jindu=66。则将精确度从改成，并执行程序。程序执行到第332步时（用时1秒），就达到了规定精确度。

a(332)=1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990

你还能想到其他估计的方法吗?

连分数展开式：

构造一个（渐近）近似值数列的递推公式：

将上面递推公式写出对应的程序语句（linuxshell语言）：

#!/bin/bash

i=1

A=1

while((i=100));do

echoa($i)=$A#打印a1,a2,a3,...

A=$(echoscale=66;1+(1/(1+$A))|bc-l)#运算公式

((i++))#令i增加1

done

程序执行到第87步时（用时不到1秒），就达到了规定精确度。

a(87)=1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990

你还能想到其他估计的方法吗?

构造一个（渐近）近似值数列的递推公式：

将上面递推公式写出对应的程序语句（linuxshell语言）：

#!/bin/bash

i=1

A=2

while((i=100000));do

echoa($i)=$A#打印a1,a2,a3,...

A=$(echoscale=66;($A)*(1+((-1)^($i))/(2*($i)+1))|bc-l)#运算公式

((i++))#令i增加1

done

程序执行到第100000步时（用时4分钟），连精确