2024-2025学年上海市静安区风华中学高二上学期期中考试数学试卷含详解.docx

风华中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷

一,填空题

1.两个平面最多可以将空间分成__________部分.

2.已知空间中两条直线a,b,“a⊥b”是“a与b相交”的______条件（选填“充分非必要”,“必要非充分”,“既非充分又非必要”,“充要”）

3.若球,表面积之比,则它们的半径之比_____.

4.如图,在三棱台的9条棱所在直线中,与直线是异面直线的共有___________条.

5.已知正三角形的边长为2,边在水平线上,则其平面直观图的面积为______.

6.已知圆锥的底面面积为,母线长为4,则该圆锥的体积为_____.

7.已知圆柱的轴截面是正方形,这个正方形的面积为,则该圆柱的表面积为_____.

8.如图,在棱长为1的正方体中,为底面内（包括边界）的动点,满足与直线所成角的大小为,则线段扫过的面积为______.

9.在四面体中,,,,则直线与所成角_____.

10.在长方体中,棱,,点是线段上的一动点,则的最小值是___________

二,单选题

11.下列条件中,能够确定一个平面的是（）

A.两个点 B.三个点

C.一条直线和一个点 D.两条相交直线

12.若,,是互不相同的直线,,是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是（）

A若,,,则 B.若,,则

C.若,,则 D.若,,则

13.M,N分别为菱形ABCD的边BC,CD的中点,将菱形沿对角线AC折起,使点D不在平面ABC内,则在翻折过程中,对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行,②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（）

A.①为真命题,②为真命题, B.①为真命题,②为假命题.

C.①假命题,②为真命题, D.①为假命题,②为假命题.

三,解答题

14.如图,正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为3,的中点为.

（1）求证：直线与直线是异面直线.

（2）求直线与所成角的大小.

15.亭子是一种中国传统建筑,多建于园林,人们在欣赏美景同时也能在亭子里休息,避雨,乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地,设圆锥中母线与底面所成角的大小为,当时,方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米,圆柱高为3米,底面半径为2米.

（1）,求几何体体积.

（2）如图2,若圆锥底面半径为2.5米,设为圆柱底面半圆弧的一个点,求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值,并判断该亭子是否满足建筑要求.

16.已知,如图P是平面外一点,PA是平面的斜线,交于点A,过点P作平面的垂线PO,垂足是O,直线OA是PA在平面α上的投影．求证：对平面上任一直线a,a⊥OA是a⊥PA的充要条件．

17.如图,在正三棱柱中,已知,,分别是,的中点.

（1）求正三棱柱的表面积.

（2）求证：平面平面.

（3）求证：直线平面.

18.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,分别为棱,中点.

（1）求证：平面平面.

（2）若平面平面,直线与平面所成的角为,且.

①求四棱锥的体积.

②求二面角的大小.

风华中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷

一,填空题

1.两个平面最多可以将空间分成__________部分.

【答案】4

【分析】对两个平面的位置关系情况进行讨论,得出其将空间分成几部分,比较所得的结果即可得到最多可分成几部分.

【详解】两个平面的位置关系是平行与相交,若两个平面平行,则可将空间分成三部分,若两个平面相交,可将空间分成四部分.

故答案为：4.

2.已知空间中两条直线a,b,“a⊥b”是“a与b相交”的______条件（选填“充分非必要”,“必要非充分”,“既非充分又非必要”,“充要”）

【答案】既非充分也非必要

【分析】通过正方体上的线的关系进行判断充分必要条件,由“a⊥b”得“a与b相交”则填充分条件,由“a与b相交”得“a⊥b”,则填必要条件,最后得出结果.

【详解】如图在正方体中,但与不相交,故“a⊥b”是“a与b相交”的非充分条件.

同理与相交,但与显然不垂直.

故与相交“a⊥b”是“a与b相交”的非必要条件.

所以“a⊥b”是“a与b相交”的既非充分又非必要条件.

故答案为：既非充分又非必要.

3.若球,表面积之比,则它们的半径之比_____.

【答案】3

【分析】两个球的表面积之比就是半径之比的平方,直径求出半径之比即可.

【详解】根据相似比的意义,两个球的表面积之比就是半径之比的平方,所以所以.

故答案为：3.

4.如图,在三棱台的9条棱所在直线中,与直线是异面直线的共有___________条.

【答案】3

【分析】利用异面直线的判定定理判断即可.

【详解】空间直线的位置关