2024-2025学年北京师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试卷含详解.docx

北京师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

考生须知

1.本试卷有三道大题,共6页.考试时长120分钟,满分150分.

一,选择题共10小题,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.直线的倾斜角为

A. B. C. D.

2.已知,,若,则实数值为（）

A. B.2 C. D.1

3.已知直线的方程为,则过点且与垂直的直线方程为（）

A. B.

C. D.

4.已知平面的一个法向量,直线的一个方向向量,则（）

A. B.

C. D.与相交且不垂直

5.如图,在长方体中,是线段上一点,且,若,则（）

A. B. C. D.

6.在正三棱柱中,,则直线与平面所成角的正弦值为（）

A. B. C. D.

7.如图,在三棱锥中,平面平面,,则二面角的余弦值为（）

A. B. C. D.

8.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,已知,则“”是“”的（）

A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9.如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,点是PC的中点,,,则（）

A. B. C. D.4

10.如图,在棱长为2的正方体中,点为BC的中点,点在线段上,则面积的最小值为（）

A. B. C. D.

二,填空题共5小题,每小题5分,共25分.

11.若直线与直线平行,则______．

12.长方体中,,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为__________．

13.已知为平面内三点,点在内,且异于三点,写出点一个坐标:____________.

14.如图所示的多面体,其各个面都是边长为2的等边三角形,点分别为棱的中点,则______.

15.如图,正方体的棱长为2,点分别为棱的中点,点为线段上的一个动点,给出下列四个结论:

①三棱锥的体积为定值;

②存在点,使平面.

③存在点,使平面平面;

④设直线FG与平面所成角为,则的最大值为.

其中所有正确结论的序号为____________________.

三,解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

16.已知点,,,点是线段的中点,,垂足为.

（1）求直线的方程.

（2）求点的坐标.

（3）求的面积.

17.如图,在四棱锥中,底面为矩形,点E,F分别为AD,中点,平面.

（1）求证:平面.

（2）求证:;

（3）若,,求四面体的体积.

18.在中,.

（1）求的大小;

（2）再从下列三个条件中,选择两个作为已知,使得存在且唯一,求和的面积.

条件①;

条件②;

条件③AB边上的高为.

19.如图,在直三棱柱中,是的中点,平面ABD与直线交于点.

（1）求证:是线段的中点;

（2）设点在线段CD上,直线AE与平面ABM所成角的正弦值为.

（i）求的值;

（ii）求到平面ABM的距离.

20.如图,在四棱锥中,平面,.

（1）求证:平面平面;

（2）求二面角的余弦值;

（3）设为平面内动点,满足.为边上的动点,点满足,写出点组成的图形的面积.（结论不要求证明）

21.由个实数组成的有序实数组称维向量.设,称为的转置,记作.将个维向量的转置从左至右顺次排列构成数阵,记.例如,,则.对任意维向量和数阵,定义如下运算：

①,特别地,若,则称与正交;若,则称为单位向量.

②.

③对任意且,其中.

（1）设,直接写出和;

（2）已知3维向量均为单位向量,且两两正交.设,若存在正整数,使得,求a,b,c,d的值及的最小值.

（3）已知4维向量均为单位向量且两两正交,其中.设,若对任意4维向量,都存在正整数使得且的最小值为12,给出一组满足上述条件的,并说明理由.

北京师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

一,选择题共10小题,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.直线的倾斜角为

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可.

【详解】直线的斜率为,故倾斜角的正切值.

又,故.

故选：A

【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型.

2.已知,,若,则实数的值为（）

A. B.2 C. D.1

【答案】C

【分析】若则存在非零实数使成立,代入计算即可以求出.

【详解】存在非零实数使成立

,

故选：C

3.已知直线的方程为,则过点且与垂直的直线方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【分析】根据垂直得到,由点斜