专题5.2 双角平分线模型（解析版）.pdfVIP

专题5.2双角平分线模型

角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角

的平分线。

已知OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB

一、双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。

模型一：两角有公共部分（作和）

已知OC是∠AOB内的一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON.

证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC

11

∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC

22

111

∴∠MON=∠MOC+∠CON=∠AOC+∠BOC=∠AOB

222

文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半

模型二：两角有公共部分（作差）

已知OC是∠AOB外的一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求

∠MON.

证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC

11

∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC

22

111

∴∠MON=∠MOC-∠CON=∠AOC-∠BOC=∠AOB

222

文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半

总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半.

【典例1】（2022秋•管城区校级期末）如图，∠AOB是平角，∠DOE＝90°，

OC平分∠DOB．

（1）若∠AOE＝36°，求∠BOC的度数；

（2）若OD是∠AOC的角平分线，求∠AOE的度数．

【答案】（1）63°；（2）30°．

【解答】解：（1）∵∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣36°＝54°，

∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝180°﹣54°＝126°，

又OC平分∠BOD，

所以：∠BOC＝∠BOD＝×126°＝63°；

（2）因为OC平分∠BOD，OD平分∠AOC，

所以∠BOC＝∠DOC＝∠AOD，

又∠BOC+∠DOC+∠AOD＝180°，

所以∠AOD＝×180°＝60°，

所以∠AOE＝∠DOE﹣∠AOD＝90°﹣60°＝30°．

【变式1-1】（2022秋•永川区期末）如图所示，OE，OD分别平分∠AOB和∠

BOC，且∠AOB＝90°；

（1）如果∠BOC＝40°，求∠EOD的度数；

（2）如果∠EOD＝70°，求∠BOC的度数．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）根据题意：

∵OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°，

∴∠EOB＝∠AOB＝×90°＝45°

∠BOD＝∠BOC＝×40°＝20°

所以：∠EOD＝∠EOB+∠BOD＝65°；

（2）根据题意：

∠EOB＝∠AOB＝×90°＝45°

∠BOD＝∠EOD﹣∠EOB＝70°﹣45°＝25°

所以：∠BOC＝2∠BOD＝50°．

故答案为65°、50°．

【变式1-2】（2022秋•歙县期末）如图，∠AOB＝180°，OD是一条射线，

OC，OE分别是∠AOD，∠BOD的角平分线．

（1）求∠COE的度数；

（2）若∠COD：∠DOE＝1：2，求∠AOE的度数．

【答案】（1）90°；

（2）120°．

【解答】解：（1）∵OC，OE分别是∠AOD，∠BOD的角平分线，

∴，，

∵∠AOB＝180°，

∴∠COE＝∠COD+∠EOD