北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷 含解析.docx

北京市朝阳区2024~2025学年度第一学期期中质量检测

高三数学试卷

2024.11

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.设集合，集合，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可得答案.

【详解】因为集合，集合，

所以.

故选：A

2.若函数在处取得最小值，则（）

A.1 B. C.2 D.4

【答案】C

【解析】

【分析】因为，所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值点为，得出结果.

【详解】∵，∴，

∴，

当且仅当，即时取等号，

∴最小值点，即.

故选；C

3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可逐一判断.

【详解】对于A，函数为指数函数，不具备奇偶性，故A错误；

对于B，函数的定义域为，

由于为偶函数，故B错误；

对于C，函数，由正切函数的性质可知为奇函数，

且在单调递增，故C错误；

对于D，函数的定义域为，

由，故函数为奇函数，

因为，

所以函数在单调递增，故D正确.

故选：D.

4.如图，在中，，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由向量的线性关系即可得到结果.

【详解】∵，，

∴，，

∴，故AB选项错误；

∴，故C选项正确，D选项错误.

故选：C

5.已知单位向量，满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先算出，，再利用向量夹角公式即可得到答案

【详解】解：，

，

所以，

故选：C.

6.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（）

A.1天 B.2天 C.3天 D.4天

【答案】B

【解析】

【分析】设这女子每天分别织布尺，则数列是等比数列，公比．利用等比数列的通项公式及其前项和公式即可得出．

【详解】设这女子每天分别织布尺，

则数列是等比数列，公比．

则，解得．

数列的通项公式为，

，

当时，则，

当时，则，

故超过1尺的天数共有2天.

故选：B．

7.已知均为第二象限角，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】结合三角函数的单调性、平方关系，并根据充分、必要条件的知识判断即可.

【详解】由题意，若，因为均为第二象限角，所以，

所以，即，

所以，且均为第二象限角，

所以，所以，即充分性成立.

若，因为均为第二象限角，

所以，即，

所以，即，

因为均为第二象限角，所以，

所以，故必要性成立,

所以“”是“”的充要条件.

故选：C.

8.已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过导数求出直线与分段函数各段相切对应的值，并结合图象即可求解.

【详解】当时，函数，则，

令，解得，

故直线与相切，即.

当时，函数，则，

令，解得，

故直线与相切，即.

如图所示，当或时，直线与分段函数有且仅有一个公共点.

故实数的取值范围为或.

故选：B.

9.在三棱锥中，棱，，两两垂直，点在底面内，已知点到，，所在直线的距离分别为1，2，2，则线段的长为（）

A. B. C.3 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由棱，，两两垂直建立空间直角坐标系，设点坐标，分别表示出到三条轴的距离，然后得出OP的值.

【详解】如图，棱，，两两垂直，

可以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.

设，由题意可得：，∴，

∴，

故选：A

10.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（）

A.99 B. C. D.96

【答案】B

【解析】

【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解.

【详解】设，

则，即，

所以,

若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，

若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，

所以,即，

因为，

且满足，

所以包含了的个元素外，

还包含个属于