2020年九年级中考数学 几何压轴之几何探究题(含答案) .pdfVIP

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

2020中考数学几何压轴之几何探究题（含答案）

1.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1,固定△ABC不动,将△DEF进行如下

操作:

(1)操作发现如图①,△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动),连接DC、CF、FB,四边形

CDBF的形状在不断变化,但它的面积不变化,请求出其面积；

(2)猜想论证如图②,当D点移到AB的中点时,请你猜想四边形CDBF的形状,并说明理由；

(3)拓展研究如图③,将△DEF的D点固定在AB的中点,然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF,使DF落在

AB的边上,此时F点恰好与B点重合,连接AE,求sinα的值.

图①图②图③

第1题图

解:(1)如解图①,∵△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动),

∴CF=AD,AC=DF,

∴四边形ACFD为平行四边形,

∴AD∥CF,

∴S△DCF=S△BCF=S△ACD,

∴S四边形CDBF=S△CDB＋S△BCF=S△CDB＋S△ACD=S△ACB,

在Rt△ACB中,∵∠A=60°,

33

∴BC=AC=,

13

3

∴S△ABC=2×1×=2,

3

∴S四边形CDBF=2；

（2）四边形CDBF为菱形．

理由:如解图②,∵点D为斜边AB的中点,

∴DC=DA=DB,∵CF∥AD,CF=AD,

∴CF=BD,CF∥DB,

∴四边形CDBF为平行四边形,而DC=DB,

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

∴四边形CDBF为菱形；

（3）作DH⊥AE于点H,如解图③,在Rt△ACB中,

∵∠CAB=60°,

∴AB=2AC=2,∵点D为AB的中点,

1

∴AD=BD=AB=1,

2

∵绕D点按顺时针方向旋转△DEF,使DF落在AB边上,此时F点恰好与B点重合,

3

∴∠EFD=90°,EB=,DE=AB=2,

2222

在Rt△ABE中,AE=BE+AB=(3)+2=7

,

11

∵DHAE=ADEB,

22

1321

∴,

DH==

77

DH21

在Rt△EDH中,sinα==

DE14.

图①图②图③

第1题解图

2.特例探究:如图①,已知在△ABC中,AB=BC,

∠ABC=90°,D为AC边的中点,连接BD,判断△ABD是什么三角形,并说明理由;

归纳证明:如图②,已知在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,把Rt△DEF的直角顶点D放在AC的

中点上,DE交AB于M,DF交BC于N,连接BD．证明:DM=DN；

拓展应用:在图②中,AC=4,其他条件都不发生变化,请直接写出Rt△DEF与△ABC的重叠部分

的面积．