必威体育精装版人教版高一数学必修1第一章《单调性与最大(小)值》课堂探究.pdfVIP

课堂探究

第1课时

知能点一：判定或证明函数的单调性问题

利用函数单调性的定义证明函数的单调性时应注意，定义中的x，x具有以下特征：(1)

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任意性，即证明单调性时，不能随意的以两个特殊值的大小来直接说明函数的单调性；(2)

具有大小关系，通常规定x＜x；(3)两个值必须属于同一个单调区间．判断函数在定义域(某

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个区间)上的单调性，有时也可以结合图象进行，在此体现了数形结合的思想方法．

1

例1证明函数f(x)x在(0,1)上为减函数．

x

利用函数单调性的定义设出(0,1)上的任意两个变量x，x，然后推导出f(x)－

121

f(x)的符号即可得到结论．

2

证明：设0＜x＜x＜1，则

12

11(xx)1

f(x)f(x)(x)(x)(xx)21(xx)(1)

121x2x12xx12xx

121212

(xx)(xx1)

1212

，已知0＜x＜x＜1，则xx－1＜0，x－x＜0，即f(x)－f(x)＞0，

12121212

xx

12

f(x)＞f(x)，

12

1

所以函数f(x)x在(0,1)上为减函数．

x

根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行：①取值；②作差；③判号：即判断f(x)

1

－f(x)是大于零还是小于零；④下结论：即判断f(x)在其单调区间上是增函数还是减函数．

2

知能点二：求函数的单调区间

书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定，习惯上，若函数在区间端

点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以，若函数在区间端点处无定义，则必须

写成开区间．函数单调性反映了函数值随自变量的变化而变化的趋势，是函数性质的重要反

映，因此单调区间的开闭不影响其单调性．

例2作出函数f(x)＝|2x－1|的图象并写出其单调区间．

首先将原函数去掉绝对值号，利用分段函数的解析式的特征画出函数的草图，

并根据图象的上升与下降的趋势写出函数的单调区间．

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解：当x时，f(x)＝2x－1，当x时，f(x)＝－2x＋1，

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