2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期末数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B等于（）

A．{2，4} B．{2，4，8} C．{2，4，6，8} D．{2，4，6，8，9}

2．在(x2-

A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣20

3．若双曲线x2m-y

A．y=±33x B．y=±3x

4．已知函数f(x)=x-

A．f(2)=f(12) B．f（

C．f（x）在定义域内是增函数 D．f（x）存在最大值

5．在△ABC中，AB=5，BC=3，

A．﹣16 B．﹣9 C．9 D．16

6．已知底面边长为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为83，则直线AC与A1B

A．32 B．22 C．34

7．已知点F是双曲线C：x2﹣y2＝1的一个焦点，直线l：y＝kx，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an﹣1（n＝1，2，3，?），则下列结论中正确的是（）

A．an=2n

C．数列{log2an}的前n项和为n2-12 D

9．已知直线l1：mx+y＝0恒过定点A，直线l2：x﹣my﹣2＝0恒过定点B，且直线l1与l2交于点P，则点P到点(0，

A．4 B．23 C．3 D．

10．已知函数f（x）=x2-2x，x≤0ln(x+1)，x＞0，若不等式x（f（x）﹣a

A．（0，1] B．（0，2] C．[1，2] D．[1，+∞）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知复数z＝﹣3+ai（a∈R）对应的点到原点的距离是a+1，则实数a＝．

12．已知点A（2，﹣4）在抛物线C：y2＝2px上，则A到焦点F的距离为．

13．已知函数y=2sin(ωx+π3)在区间[0，π2]上的最大值为2

14．从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有个．

15．在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为点A（x1，y1）到点B（x2，y2）的“折线距离”．点O是坐标原点，点P在圆x2+y2＝1上，点Q在直线2x+y-

①若点P的横坐标为-35，则d(O，P)=75；②d（O，P）的最大值是2；③d（O，Q）的最小值是2；④d（Q，P）的最小值是

三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（14分）如图，四边形CDEF为矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，AB∥CD，AD⊥DC，AB=AD=DE=1

（1）求证：BD⊥平面BCF；

（2）求直线BC与平面BEF所成角的大小．

17．（14分）在锐角△ABC中，sin2B＝3cosB，b＝1．

（Ⅰ）求∠B；

（Ⅱ）求△ABC周长的最大值．

18．（14分）某区12月10日至23日的天气情况如图所示．如：15日是晴天，最低温度是零下9℃，最高温度是零下4℃，当天温差（最高气温与最低气温的差）是5℃．

（1）从10日至21日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率；

（2）从11日至20日中随机抽取两天，求恰好有一天温差不高于5℃的概率；

（3）已知该区当月24日的最低温度是零下10℃．12日至15日温差的方差为s12，21日至24日温差的方差为s22，若

（注：s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]，其中x为数据x1，x

19．（14分）已知函数f(x)=(x-

（1）当a＝1时，求证：f（x）在R上是增函数；

（2）若f（x）在区间（0，+∞）上存在最小值，求a的取值范围；

（3）若f（x）仅在两点处的切线的斜率为1，请直接写出a的取值范围．（结论不要求证明）

20．（14分）已知椭圆C：x2a2+y2b

（1）求椭圆C方程；

（2）设不经过右顶点的直线l：y＝kx+m交椭圆C于两点P，Q，过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线BQ于E，若点D为线段PE的中点，求证：直线l经过定点．

21．（15分）已知整数n≥4，数列A：a1，a2，…，an是递增的整数数列，即a1，a2，…，an∈Z且a1＜a2＜…＜an定义数列A的“相邻数列”为B：b1，b2，…，bn，其中b1＝a1，bn＝an，bi＝a