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湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2024届高考适应性月考卷（三）数学试题

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（）

A． B． C． D．

2．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）

A． B． C． D．

3．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，，都有，若，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

4．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（）

A． B． C． D．

5．若，满足约束条件，则的最大值是（）

A． B． C．13 D．

6．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（）

A． B． C． D．1

7．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（）

A． B．

C． D．

8．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（）

A． B．2 C．3 D．

9．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

10．设函数（，）是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（）

A． B． C． D．

11．若集合，，则（）

A． B． C． D．

12．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知等差数列的各项均为正数，，且，若，则________.

14．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为.

15．的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______.

16．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲?乙?丙三队各出三人，组成小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，其中为实常数.

（1）若存在，使得在区间内单调递减，求的取值范围；

（2）当时，设直线与函数的图象相交于不同的两点，，证明：.

18．（12分）已知，，，，证明：

（1）；

（2）.

19．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；

（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）

20．（12分）（1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；

（2）已知数列满足：

（ⅰ）对任意的；

（ⅱ）对任意的，，且.

①若，求数列是等比数列的充要条件.

②求证：数列是等比数列，其中.

21．（12分）如图，四边形中，，，，沿对角线将翻折成，使得.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

22．（10分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：

x

1

3

4

1

2

y

5