高三数学知识点：数列专题热点详析.docVIP

高三数学知识点：数列专题热点详析

高三数学知识点：数列专题热点详析

高三数学知识点：数列专题热点详析

高三数学知识点:数列专题热点详析

天津市第四十二中学张鼎言

假设akα,由上面得递推式,用比较法：

ａk+1—α＝－—α

而α是方程x2+x—1＝０得根,

∴aｋ+１-α＝—0

∴ａｋ+１α

由上数学归纳法可证aｎα

分析(３）由（２）anα，又anαβ

∴ａnβ

bｎ＝ln—有意义,同理an—β=—(ｎ≥2)

bn=lｎ-

=2ln—=２bn-１

b１＝lｎ-=2ｌn-

＝2ln—

=4ｌｎ—

Ｓn＝—

=ｂ1g（2n-1)

=(2n+２—4)gln—

注：本题得关键是第（2）问,通过an+１-α,不等式比较法，建立了递推关系。

7。数列｛ａn｝得前n项和为Sn,已知ａ1＝—,Sn=n2an-n(n-1），n=1，２，…

（Ⅰ）写出Sn与Sｎ—1得递推关系式（ｎ２)，并求Sn关于n得表达式；

（Ⅱ）设fn（x）=—xn+1,ｂn=fｎ1(p)(ｐ∈R），求数列｛bｎ}得前ｎ项和Tn。

解（Ⅰ）由已知Sｎ=n2（Sn-Sn-1)－n（n－１），(n2)。

（ｎ2-１）Sｎ=n2Sｎ－1+n(n—1）

两边同除以n（n-1），

－Sｎ=-Sn—1＋1

设＝—Sn,

=-1+１，

由Ｓ１＝ａ1=-,c1=1

∴=1+(n-1）=n

Sｎ=—

（Ⅱ）fｎ（x）=-ｘn＋1=－xn＋1，f＇n(x）＝nxn

bn＝ｎpn

设Tｎ＝b1＋b2＋…+bｎ=p＋2p2+3p3＋…+npn（1）

当p＝0时,Ｔn=0

ｐ=1时，

Tn＝1+2+…+n=－n（n+１)

ｐTn＝p2+2p3+…＋npn+１（2）

（1）—（2）Ｔｎ—PTn＝p+p2+…＋pn－ｎpn+１

∴Tn=－——，（ｐ≠0,ｐ≠1)

注:在递推关系中,设是关键,从Sn－1→Sｎ与－→-是同样得递推。在递推中着眼点是关于n得结构上得一致性、

8。设数列｛ａｎ｝得前ｎ项和为Sn,且方程x2－anx—an=0有一根为Ｓn－1，n=1，2，3，…

（Ⅰ）求a1,ａ2；

（Ⅱ）求｛an｝得通项公式

(Ⅰ)ｎ=1,ａ１=S1,(a1—１)2－a1(a１－１）—ａ1=0，a1=-；

n=2,Ｓ2=a１+ａ2＝－+a２,

Ｓ2－1=ａ2--,

代入(a２－—）２－ａ2(a2－—)—a2＝０,a2=-，S２＝—+-=—；

（Ⅱ）(Sn—1)2—an(Sn-1)-an=0，(Sｎ-1）(Sｎ-an－1)－ａn=0,

(Sｎ—1）（Sｎ—1-1）-（Sn—Sn-１）＝0,ＳｎＳn—1—2Sn+1=0

以上是把an转化成Sn，理由是把Ｓn转换成an走不通，实际上求出Sn，aｎ也可求出。

由Ｓ1=-,S2＝—,进一步可求出S３=-,猜想Sn=－，用数字归纳法n＝2时命题成立，假定Sk=-，

由关于Sｎ得递推式,

Sk＋1=－=—=-，

∴Sｎ=—，ａn=－

注:由递推公式求通项,从特殊到一般，先求出n=1，2，3，…归纳假设提出猜想，再去证明猜想。

9、已知函数f（x）=x—sinx，数列{an}满足：０

证明（Ⅰ)0

（Ⅱ)ａn＋1—aｎ3

证明（Ⅰ)由已知an+1=f(ａn），是以函数形式给出得递推关系，-，

先用数学归纳法证明：0

ｎ=1由已知０

考虑函数ｆ（x)=x—sｉnx，f’（x)=1—coｓｘ,

∵0

∴f＇（x）０,ｆ(x）↑

f(x)在[0,1]上连续

∴ｆ(0）

∴0

又∵an+１＝ｆ（an）=ａn－siｎaｎ，0０，

∴an—ａｎ+1=sｉnaｎ０

∴0

(Ⅱ）要证an+1-an3,需证—an3—aｎ+10，构造函数g(x)=-x3-x+sinx（0

ｇ’（x)=—ｘ2—1+cosｘ

＝-x2—２ｓiｎ2—

=2［(—）2-（sｉｎ－）2]

当０—时，用单位圆易证－ｓｉn-0

∴g’(ｘ)0,ｇ(x）↑0

∴g（an）ｇ（0），-an3-an+sｉnaｎ０

—an3aｎ-siｎａn=an-1

注：本题是以函数形式确定递推关系,把递推式中项与项得大小关系转化为函数得单调性。