新教材 人教A高中数学选择性必修第一册 1.4.1 用空间向量研究直线、平面.pdfVIP

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

第一课时

一、教学目标

1.能用向量语言描述点、直线和平面；

2.理解直线的方向向量和平面的法向量.

二、教学重难点

1.教学重点

理解直线的方向向量和平面的法向量.

2.教学难点

建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.

三、教学过程

（一）新课导入

我们已经学习了空间向量的相关概念及运算，那么空间向量有什么应用呢？本节我们将

从空间中点、直线和平面的向量表示入手，研究空间向量在立体几何中的应用.

（二）探索新知

问题1如何用向量表示空间中的一个点？

OP

如图，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量OP来

表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.

Al

问题2空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线，如何用向量表示直线

l？

lAl

用向量表示直线，就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点.

allPl

如图，是直线的方向向量，在直线上取ABa，设是直线上的任意一点，由向

Plt

量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数，使得APta，即APtAB.

OPlt

如图，取定空间中的任意一点，可以得到点在直线上的充要条件是存在实数，使

OPOAta，①

将ABa代入①式，得OPOAtAB.②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线

的方向向量唯一确定.

lMP

证明上述结论：设是空间中的任意一条直线，点为其上一点，点为其上任意一点，

b为其方向向量，

MPtb，OPOMtb，

OPOMtb，

PMbt

∴直线上任意一点能用直线上一点及直线的方向向量表示，且一个实数对应直

P

线上唯一一个点，

∴空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

对直线的方向向量的理解：

（1）在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备两个条件：

①不能为零向量；②表示方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合.

（2）一条直线的方向向量有无数个.

（3）直线的方向向量是空间中直线向量表示的关键量，空间任意直线由直线上一点及直

Aa

线的方向向量唯一确定，也就是说，给定空间直线上一点和直线的方向向量，就可以确定

唯一一条过点A的直线.

问题3一个定点和两个定方向能否确定一个平面？一个定点和一个定方向能否确定一个

平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？

（学生以小组为单位讨论探究，每组选出代表回答，教师引导、讲解）

αα