北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期期中测验数学试题 含解析.docx

北师大实验中学2024-2025学年度第一学期期中试卷

高二数学

2024年11月

本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.直线的倾斜角是，则斜率是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由直线的倾斜角与斜率的关系即得.

【详解】∵直线的倾斜角是，

∴直线的斜率为.

故选：C.

2.已知点P在椭圆上，点，，则（）

A.2 B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意由椭圆标准方程以及椭圆定义即可得出结果.

【详解】由椭圆方程为可知，

则，即为椭圆左、右焦点，

由椭圆定义可得.

故选：C

3.已知圆关于直线对称，则实数（）

A.－2 B.－1 C.1 D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆关于直线对称即圆心在直线上得到答案.

【详解】将化成标准方程为，

圆心为，半径为，

因为圆关于直线对称，

所以圆心在直线上，即，解得.

故选：D.

4.以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆心和半径可得圆的方程.

【详解】以点为圆心，且与x轴相切的圆的半径为1．

故圆的标准方程是．

故选:A．

5.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）

A.是一个半径为的圆 B.是一条与相交的直线

C.上的点到的距离均为 D.是两条平行直线

【答案】C

【解析】

【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，故可将点代入坐标，即可得轨迹，结合选项即可得出正确答案.

【详解】设，由，则，

由在直线上，故，

化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，

上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.

故选：C.

6.如图，三棱锥中，平面，，且ΔABC为边长等于2的正三角形，则与平面所成角的正弦值为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先过A点作出高线，利用等体积法先求高线，再计算线面角．

【详解】过点作垂直于平面的直线，垂足为O，利用等体积法求解．，由此解得，与平面所成角为，所以,故选B

【点睛】本题考查了等体积法和线面角基本求法，综合性强，在三棱锥中求高线，利用等体积法是一种常见处理手段，计算线面角，先找线面角，要找线面角必找垂线，而求解垂线的基本方法为等体积法或者点到平面的距离公式．

7.点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（）．

A.和 B.和

C.和 D.和

【答案】D

【解析】

【分析】过点作垂直于直线，根据圆的性质可得以为直径的圆过定点和，得解.

【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为，

则以为直径圆过定点和，易知直线的方程为，

联立，解得，即.

所以以为直径的圆经过定点和.

故选：D.

8.“”是“椭圆的离心率为”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据椭圆的离心率为求出m，进而求得答案.

【详解】椭圆的离心率为，当时，，得；

当时，，得．

即“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件．

故选：A.

9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（）

A. B. C. D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合向量法求解点到面的距离，即可得到结果.

【详解】

建立如图所示空间直角坐标系，

则，

则，

设平面的一个法向量为，

则，取，得，

所以点P到平面QGC距离是.

故选：B

10.如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（）

A.存在点P满足

B.存在点P满足

C.满足的点P的轨迹长度为

D.满足的点P的轨迹长度为

【答案】C

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决此题，对于A，利用两个特殊点求出的值，判断在此范围内即可；对于B，利用向量垂直数量积等于零解方程即可求点坐标；对于C，D利用向量垂直数量积等于零可求点的轨迹方程，根据图形找到点的轨迹求长度即可．

【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则,0,，,0,，，,1,，

动点设为,1,，

对于A，点