工程数学 - 第四章 积分.pptx

工程数学主编马玉高琰卢静

积分第四章

目录不定积分的概念与性质01基本积分公式和直接积分法02换元积分法03分部积分法04CONTENTS行业PPT模板/hangye/定积分的概念及性质05定积分的基本公式06定积分的换元法与分部积分法07广义积分08定积分的应用09利用MATLAB计算定积分10

第一节不定积分的概念与性质01

一、原函数定义4.1.1设函数F(x)和f(x)在区间I上有定义,若对?x∈I,有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数.例如,因为(sinx)′=cosx,所以sinx是cosx在区间(-∞,+∞)上的一个原函数.又如,因为(x3)′=3x2,所以x3是3x2在区间(-∞,+∞)上的一个原函数.可以看出,求已知函数f(x)的原函数就是找到这样一个函数F(x),使得F′(x)=f(x).研究原函数,需要解决两个问题:在什么条件下,函数的原函数存在?如果存在,那么是否只有一个?01

01定理4.1.1(原函数存在定理)若函数f(x)在区间I上连续,则它在该区间上存在原函数.由于初等函数在其有定义的区间上是连续的,由定理4.1.1知,每个初等函数在其定义区间上都有原函数.设C是任意常数,因为(x3+C)′=3x2,所以x3+C也是3x2的原函数.C每取定一个实数,就得到3x2的一个原函数,从而3x2有无穷多个原函数.由此可见,若一个函数存在原函数,那么它的原函数是不唯一的.原函数有如下特性:(1)若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,则函数族F(x)+C(C为任意常数)也是函数f(x)的原函数;(2)函数f(x)的任意两个原函数之间仅相差一个常数.上述特性表明,若函数f(x)有原函数,则它必有无穷多个原函数,若函数F(x)是其中一个,则这无穷多个都可以写成F(x)+C的形式.

二、不定积分的概念01定义4.1.2函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分,记作∫f(x)dx,其中符号∫为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.由定义4.1.2可知,f(x)的不定积分是f(x)的全体原函数,是一族函数.即若F(x)是函数f(x)的一个原函数,则∫f(x)dx=F(x)+C,其中,C为任意常数,称为积分常数.

三、不定积分的几何意义01从几何上看,函数f(x)的任意一个原函数F(x)的图形是一条曲线.因此,不定积分是一族曲线,称为函数f(x)的积分曲线族.这一族积分曲线可以由其中任一条沿着y轴平行移动而得到.在每一条积分曲线上横坐标相同的点x处做切线,切线互相平行,其斜率都是f(x)(见图4-1).

四、不定积分的性质01性质4.1.1求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算.也就是说,不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式),例如对一个函数的导数(或微分)求不定积分,其结果与此函数仅相差一个积分常数,例如性质4.1.2被积函数中不为零的常数因子k可以提到积分符号的前面,即性质4.1.3两个函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和,即上式可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形,即

第二节基本积分公式和直接积分法02

一、基本积分公式0201不定积分与求导互为逆运算,因而可以由导数的基本公式对应地得到不定积分的基本公式.

二、直接积分法02在求积分问题时,直接用基本积分公式进行计算或者利用不定积分的运算性质,先将被积函数进行适当的恒等变形(包括代数变换和三角变换),再代入基本积分公式,便可求出一些函数的不定积分,通常把这种求不定积分的方法称为直接积分法.

第三节换元积分法03

一、第一类换元积分法03定理4.3.1(第一类换元积分法)设函数u=φ(x)可导,若则式(4.3.1)称为不定积分的第一类换元积分公式.利用第一类换元积分公式计算不定积分的方法称为第一类换元积分法.第一类换元积分法