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整式的乘法与因式分解

【知识脉络】

【基础知识】

1．单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含

有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

222233

3ab×2abc=（3×2）×（ab×abc）=6abc

2．单项式与多项式的乘法法则：a(b+c+d)=ab+ac+ad

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

3．多项式与多项式的乘法法则：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把

所得的积相加．

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4．乘法公式：①完全平方公式：（a＋b）＝a＋2ab＋b

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（a－b）＝a－2ab＋b

语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个

数的积的2倍．

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②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a－b

语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

5．因式分解（难点）

因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多

项式因式分解．

一、掌握因式分解的定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个

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要素缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化

为和差的形式．

二、熟练掌握因式分解的常用方法．

1、提公因式法

（1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一

各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次

数；

（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因

式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可

用来检验是否漏项．

（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项

式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

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①平方差公式：a－b＝（a＋b）（a－b）

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②完全平方公式：a＋2ab＋b＝（a＋b）

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a－2ab＋b＝（a－b）

【典例解析】

例题1：数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：

（a﹣1）（b﹣2）．现将数对（m，1）放入其中，得到数n，再将数对（n，m）放入其中后，

2

最后得到的数是﹣m+2m．（结果要化简）

【考点】整式的混合运算．

【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果．

【解答】解：根据题意得：（m﹣1）（1﹣2）=n，即n=1﹣m，

2

则将数对（n，m）代入得：（n﹣1）（m﹣2）=（1﹣m﹣1）（m﹣2）=